Somma di Hölder

In matematica, la somma di Hölder è una definizione di somma di serie più generale rispetto alla somma usuale o alla somma di Cesaro. È stata introdotta nel 1882 da Otto Hölder.

Definizione

Data la serie

$\sum a_{n}$

si definisce la famiglia di successioni

$H_{n}^{0}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}\,$

$H_{n}^{k+1}={\frac {H_{1}^{k}+\cdots +H_{n}^{k}}{n}}$.

Se per qualche k esiste finito

$\lim _{n\rightarrow \infty }H_{n}^{k}\,$

allora il valore di tale limite è la somma di Hölder (H,k) della serie.

Proprietà

La convergenza (H, 0) coincide con la convergenza usuale. La sommabilità per (H, k) implica la sommabilità per (H, k') per ogni k'>k.

Bibliografia

• (EN) Michiel Hazewinkel, Hölder summation methods, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (DE) Otto Hölder, Grenzwerthe von Reihen an der Konvergenzgrenze, in Math. Ann., vol. 20, 1882, pp. 535-549.