Filtro (matematica)

In teoria degli insiemi si dice filtro su di un insieme A, un sottoinsieme $\mathcal A$ del suo insieme delle parti che gode delle seguenti proprietà:

1. È chiuso verso l'alto rispetto all'inclusione, in formule

   $X \in {\mathcal A} \land X \subseteq Y \Rightarrow Y \in {\mathcal A}$

2. È chiuso rispetto all'intersezione, in formule

   $X \in {\mathcal A} \land Y \in {\mathcal A} \Rightarrow X \cap Y \in {\mathcal A}$

Esempio

• Sia E un insieme e x un elemento di E. La famiglia di insiemi

$\mathcal{A}=\{A\in\mathcal P(E)\mid x\in A\}$

è un filtro.

Storia

Il concetto di filtro venne introdotto nel 1937 da Henri Cartan come metodo per introdurre una nozione di convergenza generalizzata per gli spazi topologici. Un'altra possibile tecnica per realizzare lo stesso scopo è l'uso delle reti, introdotte precedentemente da Moore e Smith. Il concetto di filtro è stato utilizzato da Kenneth Arrow nella dimostrazione del suo teorema sull'impossibilità matematica di attuare la democrazia rappresentativa perfetta, da Abraham Robinson per la sua Analisi non standard, e da Amartya Sen per estendere il teorema di Arrow all'impossibilità dello stato di diritto perfetto. Sia Arrow che Sen, per i loro risultati, hanno ricevuto il Premio Nobel per l'economia.

Filtro proprio

Si definisce filtro proprio $\mathcal A$ un filtro su di un insieme A tale per cui esiste almeno un elemento dell'insieme delle parti di A che non appartiene ad $\mathcal A$, in formule:

$\exists X \subseteq$ $\mathcal P$$($A$)$$: X \not \in {\mathcal A}$

Un semplice teorema ci dice che

Un filtro è proprio se e solo se ad esso non appartiene l'insieme vuoto $\varnothing$

Se infatti $\varnothing \in \mathcal A$, e per definizione l'insieme vuoto è contenuto in ogni sottoinsieme di A, allora per la proprietà 1 ogni sottoinsieme X di A appartiene ad $\mathcal A$. Viceversa, se esiste un elemento X che non appartiene ad $\mathcal A$, visto che $\varnothing \subseteq X$, sempre per la proprietà 1 l'insieme vuoto non può appartenere ad $\mathcal A$, altrimenti avremmo $\varnothing \in {\mathcal A} \land \varnothing \subset X \land X \not \in {\mathcal A}$   $\Box$.

Filtro principale

Un filtro $\mathcal A$ si definisce principale se l'intersezione di tutti i suoi elementi non è l'insieme vuoto, in formule:

$\bigcap_{X \in {\mathcal A}} X \ne \varnothing$

Ad esempio, per un insieme non vuoto A, l'insieme dei sottoinsiemi di A che contengono l'elemento $x \in A$ è un filtro principale.

Filtro cofinito

Dato un insieme infinito S, il filtro F_S che contiene tutti i sottoinsiemi A di S tali che l'insieme differenza S-A sia finito è detto filtro cofinito o di Fréchet. In formule

$F_S = \{ A \subseteq S: S-A \text{ insieme finito} \}$ .

Bibliografia

• Bourbaki, N., General topology, Springer-Verlag, 1989. Cap. 1, par. 6.
• H. Cartan, Théorie des filtres, CR Acad. Paris, 205, 595–598, 1937.
• H. Cartan, Filtres et ultrafiltres, CR Acad. Paris, 205, 777–779, 1937.
• E. H. Moore and H. L. Smith, A General Theory of Limits, American Journal of Mathematics, 44, 102–121, 1922.

Voci correlate

• Rete
• Cardinalità
• Teoria degli insiemi
• Ultrafiltro

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