Filtro (matematica)

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In teoria degli insiemi il concetto di filtro venne introdotto nel 1937 da Henri Cartan come metodo per introdurre una nozione di convergenza generalizzata per gli spazi topologici.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia A un insieme.

{\mathcal F} sottoinsieme non vuoto di P(A) (insieme delle parti) si dice filtro sull'insieme A se gode delle seguenti proprietà:

  1. È chiuso verso l'alto rispetto all'inclusione, ossia:  X \in {\mathcal F} \land X \subseteq Y \in P(A) \Rightarrow Y \in {\mathcal F}
  2. È chiuso rispetto all'intersezione, ossia:  X \in {\mathcal F} \land Y  \in {\mathcal F} \Rightarrow X \cap Y \in {\mathcal F}

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

  • Sia E un insieme e x un elemento di E. La famiglia di insiemi
\mathcal{A}=\{A\in\mathcal P(E)\mid x\in A\}

è un filtro.

Storia[modifica | modifica wikitesto]

Il concetto di filtro venne introdotto nel 1937 da Henri Cartan come metodo per introdurre una nozione di convergenza generalizzata per gli spazi topologici. Un'altra possibile tecnica per realizzare lo stesso scopo è l'uso delle reti, introdotte precedentemente da Moore e Smith. Il concetto di filtro è stato utilizzato da Kenneth Arrow nella dimostrazione del suo teorema sull'impossibilità matematica di attuare la democrazia rappresentativa perfetta[senza fonte][1], da Abraham Robinson per la sua Analisi non standard, e da Amartya Sen per estendere il teorema di Arrow all'impossibilità dello stato di diritto perfetto. Sia Arrow che Sen, per i loro risultati, hanno ricevuto il Premio Nobel per l'economia.

Filtro proprio[modifica | modifica wikitesto]

Si definisce filtro proprio  \mathcal F un filtro su di un insieme  A tale per cui esiste almeno un elemento di  P(A) che non appartiene ad  \mathcal F, in formule:

\exists X \in P(A): X \not \in {\mathcal F}

Un semplice teorema ci dice che

Un filtro è proprio se e solo se ad esso non appartiene l'insieme vuoto \varnothing

Se infatti \varnothing \in \mathcal A, e per definizione l'insieme vuoto è contenuto in ogni sottoinsieme di A, allora per la proprietà 1 ogni sottoinsieme X di A appartiene ad  \mathcal F. Viceversa, se esiste un elemento X che non appartiene ad  \mathcal F, visto che \varnothing \subseteq X, sempre per la proprietà 1 l'insieme vuoto non può appartenere ad  \mathcal F, altrimenti avremmo \varnothing \in  {\mathcal F} \land \varnothing \subset X \land X \not \in {\mathcal F}   \Box.

Filtro generato da una famiglia di sottoinsiemi[modifica | modifica wikitesto]

Sia  A un insieme e sia  S una famiglia di sottoinsiemi di  P(A), allora si dice filtro generato da  S su  A :

\langle S \rangle =\bigcap_{{\mathcal F}\in \mathcal X}\mathcal F con \mathcal X=\{F filtri|F\supseteq S\} .

Esso è un filtro poiché segue dal fatto che l'intersezione tra due filtri sullo stesso insieme A è un filtro sull'insieme A , inoltre è il più piccolo filtro contenente S .

Si dimostra inoltre che \langle S \rangle = \{Y\subseteq A|Y \supseteq S_1 \cap S_2\cap ... \cap S_n \;con\; S_i \in S\; \forall i , \; n\in \mathbb{N} \} .

Filtro principale su A[modifica | modifica wikitesto]

Un filtro  \mathcal F su A si definisce principale se S=\{X\} con X\in P(A) .

Un filtro  \mathcal F proprio è principale su A se e solo se ha la proprietà che l'intersezione di tutti i suoi elementi non è l'insieme vuoto, ossia: \bigcap_{X \in {\mathcal F}} X \ne \varnothing .

Ad esempio, per un insieme non vuoto A, l'insieme dei sottoinsiemi di A che contengono l'elemento x \in A è un filtro principale.

Filtro cofinito[modifica | modifica wikitesto]

Dato un insieme infinito S, il filtro FS che contiene tutti i sottoinsiemi A di S tali che l'insieme differenza S-A sia finito è detto filtro cofinito o di Fréchet. In formule

 F_S =  \{ A \subseteq S: S-A \text{ insieme finito}  \} .

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ EconPapers: Arrow's Theorem and Turing Computability

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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