Successione numerica

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In matematica, una successione numerica è una successione i cui termini sono solo numeri (non esiste un categoria designata di numeri, sono compresi sia i numeri naturali sia i numeri complessi). È in altre parole una funzione, definita solo sui numeri naturali (N) oppure su un sottoinsieme di N, per la quale è possibile calcolare il suo valore limite al divergere della variabile a + \infty. Se il risultato di tale limite è un numero finito la successione sarà convergente, se il suo risultato è \pm \infty la successione sarà divergente, se il limite non esiste la successione sarà indeterminata.

Determinate successioni numeriche possono essere riassunte in una funzione generatrice che permette il calcolo di qualsiasi n-esimo termine della serie; per esempio:

a_n = 2n -1

per n=1,2,... è la formula generatrice dei numeri dispari.

Rappresentazione[modifica | modifica wikitesto]

Il grafico della successione numerica dei numeri dispari.

Anche le successioni possono essere rappresentate sul piano cartesiano, sull'asse delle ascisse vengono riportati i valori di n, su quella delle ordinate invece gli an. Il grafico è quindi costituito da una serie di punti isolati: in figura è riportato l'esempio della successione naturale dei numeri dispari: a_n = 2n -1.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

Le successioni numeriche possono avere andamenti molto diversi tra loro. In base al segno dei suoi termini una successione si dice:

  • ovunque positiva (o positiva), se per ogni n l'immagine assume solo valori positivi, ovvero il grafico è sempre sopra l'asse delle ascisse. Matematicamente si scrive:
a_n > 0 \qquad	\forall \,n
specularmente si può definire una successione ovunque negativa
  • asintoticamente (o definitivamente) positiva (negativa) quando da un certo termine in poi, n*, i successivi sono sempre positivi, ovvero il grafico da un punto in poi non scende mai sotto l'asse delle ascisse. Matematicamente si scrive:
a_n > 0 \qquad	\forall\, n > n^*
specularmente si può definire una successione asintoticamente negativa.

Successioni limitate[modifica | modifica wikitesto]

Una successione a valori reali {a_n} \quad si dirà:

  • limitata inferiormente se esiste un numero m tale che a_n \geq m, \ \forall n \in \N
  • limitata superiormente se esiste un numero M tale che a_n \leq M, \ \forall n \in \N
  • limitata se esiste un numero M tale che |a_n| \leq M, \ \forall n \in \N

Una successione a valori in uno spazio metrico è limitata se tutti i suoi valori sono inclusi in una palla.

Successioni monotòne[modifica | modifica wikitesto]

Successioni che presentano una regolarità nell'evoluzione della serie di termini, ovvero il successivo è sempre maggiore (minore) del precedente oppure uguale, vengono dette monotòne.

Se la regolarità è presente in tutta la successione, ovvero ogni termine è sempre maggiore o minore del precedente,

a_{n+1} > a_n \quad \mbox{o} \quad a_{n+1} < a_n \qquad\ \forall \, n

la successione è detta "crescente" oppure "decrescente".
Quando, invece, il termine può essere anche uguale

a_{n+1} \geqslant a_n \quad \mbox{o} \quad a_{n+1} \leqslant a_n \qquad\ \forall \, n

la successione è detta "non decrescente" oppure "non crescente".

Se la successione, invece, inizia ad essere regolarmente crescente (o decrescente) soltanto da un certo termine n* in poi

a_{n+1} > a_n \quad \mbox{o} \quad a_{n+1} < a_n \qquad\ \forall \, n > n^*

si dice che dal punto n* è definitivamente crescente o decrescente.

Esistono infine le successioni costanti,

a_{n+1} = a_n  \qquad \forall \, n

per cui valgono contemporaneamente la proprietà di essere non crescenti e non decrescenti; esempi possono essere le successioni:

a_n = 5 \quad \mbox{oppure} \quad a_n = 1^n

Teorema sulle successioni monotòne[modifica | modifica wikitesto]

Ogni successione monotòna è regolare, cioè ammette limite. In particolare, ogni successione monotòna e limitata è convergente, cioè ammette limite finito.

Dimostrazione: Sia  a_n \quad una successione crescente e limitata, con

l = \sup_n \{a_n\}. Per le note proprietà dell'estremo superiore, fissato un \varepsilon > 0 \quad esiste un indice v\quad tale che  l-\varepsilon < a_v \quad. Ricordando che la crescenza della successione impone
a_n \geqslant a_v \qquad\ \forall \, n > v, risulta
l-\varepsilon < a_v \leqslant a_n \leqslant l < l+\varepsilon.

Cioè, per definizione di limite di una successione, risulta:

\lim_{n \to +\infty}a_n = l
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