Successione numerica

In matematica, una successione numerica è una successione i cui termini sono solo numeri (non esiste una categoria designata di numeri, sono compresi sia i numeri naturali sia i numeri complessi). È in altre parole una funzione, definita solo sui numeri naturali ($\mathbb {N}$) oppure su un sottoinsieme di $\mathbb {N}$, per la quale è possibile calcolare il suo valore limite al divergere della variabile a $+\infty$. Se il risultato di tale limite è un numero finito la successione sarà convergente, se il suo risultato è $\pm \infty$ la successione sarà divergente, se il limite non esiste la successione sarà indeterminata.

Determinate successioni numeriche possono essere riassunte in una funzione generatrice che permette il calcolo di qualsiasi n-esimo termine della serie; per esempio:

$a_{n}=2n-1$

per $n=1,2,...$ è la formula generatrice dei numeri dispari.

Rappresentazione

Il grafico della successione numerica dei numeri dispari.

Anche le successioni possono essere rappresentate sul piano cartesiano, sull'asse delle ascisse vengono riportati i valori di n, su quella delle ordinate invece gli a_n. Il grafico è quindi costituito da una serie di punti isolati: in figura è riportato l'esempio della successione naturale dei numeri dispari: $a_{n}=2n-1$.

Proprietà

Le successioni numeriche possono avere andamenti molto diversi tra loro. In base al segno dei suoi termini una successione si dice:

• ovunque positiva (o positiva), se per ogni n l'immagine assume solo valori positivi, ovvero il grafico è sempre sopra l'asse delle ascisse. Matematicamente si scrive:

$a_{n}>0\qquad \forall \,n$

specularmente si può definire una successione ovunque negativa

• asintoticamente (o definitivamente) positiva (negativa) quando da un certo termine in poi, n*, i successivi sono sempre positivi, ovvero il grafico da un punto in poi non scende mai sotto l'asse delle ascisse. Matematicamente si scrive:

$a_{n}>0\qquad \forall \,n>n^{*}$

specularmente si può definire una successione asintoticamente negativa.

Successioni limitate

Una successione a valori reali ${a_{n}}\quad$ si dirà:

• limitata inferiormente se esiste un numero m tale che $a_{n}\geq m,\ \forall n\in \mathbb {N}$
• limitata superiormente se esiste un numero M tale che $a_{n}\leq M,\ \forall n\in \mathbb {N}$
• limitata se esiste un numero M tale che $|a_{n}|\leq M,\ \forall n\in \mathbb {N}$

Una successione a valori in uno spazio metrico è limitata se tutti i suoi valori sono inclusi in una palla.

Successioni monotòne

Successioni che presentano una regolarità nell'evoluzione della serie di termini, ovvero il successivo è sempre maggiore (minore) del precedente oppure uguale, vengono dette monotòne.

Se la regolarità è presente in tutta la successione, ovvero ogni termine è sempre maggiore o minore del precedente,

$a_{n+1}>a_{n}\quad {\mbox{o}}\quad a_{n+1}<a_{n}\qquad \ \forall \,n$

la successione è detta "crescente" oppure "decrescente".
Quando, invece, il termine può essere anche uguale

$a_{n+1}\geqslant a_{n}\quad {\mbox{o}}\quad a_{n+1}\leqslant a_{n}\qquad \ \forall \,n$

la successione è detta "non decrescente" oppure "non crescente".

Se la successione, invece, inizia ad essere regolarmente crescente (o decrescente) soltanto da un certo termine n* in poi

$a_{n+1}>a_{n}\quad {\mbox{o}}\quad a_{n+1}<a_{n}\qquad \ \forall \,n>n^{*}$

si dice che dal punto n* è definitivamente crescente o decrescente.

Esistono infine le successioni costanti,

$a_{n+1}=a_{n}\qquad \forall \,n$

per cui valgono contemporaneamente la proprietà di essere non crescenti e non decrescenti; esempi possono essere le successioni:

$a_{n}=5\quad {\mbox{oppure}}\quad a_{n}=1^{n}$

Teorema sulle successioni monotòne

Ogni successione monotòna è regolare, cioè ammette limite. In particolare, ogni successione monotòna e limitata è convergente, cioè ammette limite finito.

Dimostrazione: Sia $a_{n}\quad$ una successione crescente e limitata, con

$l=\sup _{n}\{a_{n}\}$. Per le note proprietà dell'estremo superiore, fissato un $\varepsilon >0\quad$ esiste un indice $v\quad$ tale che $l-\varepsilon <a_{v}\quad$. Ricordando che la crescenza della successione impone

$a_{n}\geqslant a_{v}\qquad \ \forall \,n>v$, risulta

$l-\varepsilon <a_{v}\leqslant a_{n}\leqslant l<l+\varepsilon$.

Cioè, per definizione di limite di una successione, risulta:

$\lim _{n\to +\infty }a_{n}=l$

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