Teorema di Morera

Il Teorema di Morera è un teorema dell'analisi complessa conseguenza diretta della formula integrale di Cauchy e delle sue derivate.

Enunciato

Se $f(z)$ è una funzione continua in un dominio $A \,$ semplicemente connesso e se $\oint_{\partial S} f(z) dz = 0$ per ogni curva chiusa $\partial S$ tutta contenuta in $A \,$ allora la funzione $f(z)$ è analitica in $A \,$.

Dimostrazione

Basta dimostrare che se l'integrale di $f(z)$ è nullo su qualsiasi curva $\partial S \subset A$ allora $f(z)$ ammette una primitiva, ovvero che esiste una funzione $F(z)$ tale che

$\frac{dF(z)}{dz}=f(z)$.

Infatti se tale $F(z)$ esiste essa è analitica (dato che è derivabile e quindi valgono le condizioni di Cauchy-Riemann) e per il Teorema di rappresentazione integrale essa ammette infinite derivate analitiche, pertanto $f(z)$ è analitica. Dimostriamo quindi l'esistenza della primitiva: fissiamo all'interno della curva $\partial S$ un triangolo $ABC$ con $A \equiv z_0 ;B \equiv z;C \equiv z + h$.

Per ipotesi possiamo quindi scrivere

$\int_{z_0 }^z {f\left( w \right)dw} + \int_z^{z + h} {f\left( w \right)dw} + \int_{z + h}^{z_0 } {f\left( w \right)dw} = 0$

da cui, utilizzando il Teorema della media, si ottiene

$\frac{{\int_{z_0 }^{z + h} {f\left( w \right)dw} - \int_{z_0 }^z {f\left( w \right)dw} }}{h} = f\left( c \right)$

dove $c$ è un punto del segmento $[z,z+h]$. Passando al limite per $h \rightarrow 0$ (e quindi $c \rightarrow z$) si ottiene

$\frac{d}{{dz}}\left[ {\int_{z_0 }^z {f\left( w \right)dw} } \right] = f\left( z \right)$

pertanto la funzione

$F\left( z \right) = \int_{z_0 }^z {f\left( w \right)dw}$

è una primitiva di $f(z)$.

Voci correlate

• Analisi complessa
• Teorema integrale di Cauchy
• Formula integrale di Cauchy
• Integrazione complessa

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