Teorema di Morera

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In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Morera fornisce un importante criterio per determinare se una funzione è olomorfa. Prende il nome da Giacinto Morera.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Se f(z) è una funzione continua in un dominio A aperto e se:

\oint_{\gamma} f(z) dz = 0

per ogni curva rettificabile chiusa \gamma tutta contenuta in  A , allora la funzione f(z) è olomorfa in  A .

Se si parametrizza \gamma con la funzione z : [0,T] \to A si può scrivere:

\int_0^T f(z(t))\dot z(t) dt = 0

con \dot z(t) la derivata di z. Si tratta dell'integrazione di una 1-forma, e il teorema si può generalizzare al caso n-dimensionale.

L'inverso del teorema non vale, come si vede ad esempio nel caso in cui A sia semplicemente connesso. Si tratterebbe della formula integrale di Cauchy, che afferma che l'integrale di linea di una funzione olomorfa lungo una curva chiusa è nullo.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

È sufficiente dimostrare che se l'integrale di f(z) è nullo su qualsiasi curva \gamma \subset A allora f(z) ammette una primitiva, ovvero che esiste una funzione F(z) tale che:

\frac{dF(z)}{dz}=f(z)

Infatti se tale F(z) esiste essa è analitica (dato che è derivabile e quindi valgono le condizioni di Cauchy-Riemann) e per il teorema di rappresentazione integrale essa ammette infinite derivate analitiche, pertanto f(z) è analitica.

Per dimostrare l'esistenza della primitiva si fissa all'interno della curva \gamma un triangolo ABC con A \equiv z_0 ;B \equiv z;C \equiv z + h. Per ipotesi si può quindi scrivere:

\int_{z_0 }^z {f\left( w \right)dw}  + \int_z^{z + h} {f\left( w \right)dw}  + \int_{z + h}^{z_0 } {f\left( w \right)dw}  = 0

da cui, utilizzando il teorema della media, si ottiene:

\frac{{\int_{z_0 }^{z + h} {f\left( w \right)dw}  - \int_{z_0 }^z {f\left( w \right)dw} }}{h} = f\left( c \right)

dove c è un punto del segmento [z,z+h]. Passando al limite per h \rightarrow 0 (e quindi c \rightarrow z) si ottiene:

\frac{d}{{dz}}\left[ {\int_{z_0 }^z {f\left( w \right)dw} } \right] = f\left( z \right)

pertanto la funzione:

F\left( z \right) = \int_{z_0 }^z {f\left( w \right)dw}

è una primitiva di f(z).

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 373-374, 1985.
  • (EN) Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 26, 1999.
  • (EN) J.B. Conway, Functions of one complex variable , Springer (1973)
  • (EN) R. Remmert, Funktionentheorie , 1 , Springer (1984)

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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