Teorema di Morera

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Il Teorema di Morera è un teorema dell'analisi complessa conseguenza diretta della formula integrale di Cauchy e delle sue derivate.

Enunciato[modifica | modifica wikitesto]

Se f(z) è una funzione continua in un dominio A \, aperto e connesso e se \oint_{\partial S} f(z) dz = 0 per ogni curva chiusa \partial S tutta contenuta in  A \, allora la funzione f(z) è analitica in  A \, .

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Basta dimostrare che se l'integrale di f(z) è nullo su qualsiasi curva \partial S \subset A allora f(z) ammette una primitiva, ovvero che esiste una funzione F(z) tale che

\frac{dF(z)}{dz}=f(z).

Infatti se tale F(z) esiste essa è analitica (dato che è derivabile e quindi valgono le condizioni di Cauchy-Riemann) e per il Teorema di rappresentazione integrale essa ammette infinite derivate analitiche, pertanto f(z) è analitica. Dimostriamo quindi l'esistenza della primitiva: fissiamo all'interno della curva \partial S un triangolo ABC con A \equiv z_0 ;B \equiv z;C \equiv z + h.

Per ipotesi possiamo quindi scrivere

\int_{z_0 }^z {f\left( w \right)dw}  + \int_z^{z + h} {f\left( w \right)dw}  + \int_{z + h}^{z_0 } {f\left( w \right)dw}  = 0

da cui, utilizzando il Teorema della media, si ottiene

\frac{{\int_{z_0 }^{z + h} {f\left( w \right)dw}  - \int_{z_0 }^z {f\left( w \right)dw} }}{h} = f\left( c \right)

dove c è un punto del segmento [z,z+h]. Passando al limite per h \rightarrow 0 (e quindi c \rightarrow z) si ottiene

\frac{d}{{dz}}\left[ {\int_{z_0 }^z {f\left( w \right)dw} } \right] = f\left( z \right)

pertanto la funzione

F\left( z \right) = \int_{z_0 }^z {f\left( w \right)dw}

è una primitiva di f(z).

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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