Lista delle serie matematiche

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Questa lista di serie contiene formule per sommatorie finite o infinite. Può essere usata con altri strumenti per valutare sommatorie.

Somme di potenze[modifica | modifica sorgente]

  • \sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}
  • \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{6}
  • \sum_{i=1}^n i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = \frac{n^4}{4} + \frac{n^3}{2} + \frac{n^2}{4} = \left[\sum_{i=1}^n i\right]^2
  • \sum_{i=1}^{n} i^{4} = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}
  • \sum_{i=0}^n i^s = \frac{(n+1)^{s+1}}{s+1} + \sum_{k=1}^s\frac{B_k}{s-k+1}{s\choose k}(n+1)^{s-k+1}

: dove B_k è il k-esimo numero di Bernoulli.

  • \sum_{i=1}^\infty i^{-s} = \prod_{p \text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} = \zeta(s)

: dove \zeta(s) è la Zeta di Riemann.

Serie di potenze[modifica | modifica sorgente]

Somma infinita (per |x| < 1) Somma finita
\sum_{i=0}^\infty x^i= \frac{1}{1-x} \sum_{i=0}^n x^i = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} = 1+\frac{1}{r}(1-\frac{1}{(1+r)^n}), \mathrm{dove}\ r>0\ \mathrm{e}\ x=\frac{1}{1+r}.
\sum_{i=0}^\infty x^{2i}= \frac{1}{1-x^2}
\sum_{i=1}^\infty i x^i = \frac{x}{(1-x)^2} \sum_{i=1}^n i x^i = x\frac{1-x^n}{(1-x)^2} - \frac{n x^{n+1}}{1-x}
\sum_{i=1}^{\infty} i^2 x^i =\frac{x(1+x)}{(1-x)^3} \sum_{i=1}^n i^2 x^i = \frac{x(1+x-(n+1)^2x^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2x^{n+2})}{(1-x)^3}
\sum_{i=1}^{\infty} i^3 x^i =\frac{x(1+4x+x^2)}{(1-x)^4}
\sum_{i=1}^{\infty} i^4 x^i =\frac{x(1+x)(1+10x+x^2)}{(1-x)^5}

Con denominatori semplici[modifica | modifica sorgente]

  • \sum^{\infty}_{i=1} \frac{x^i}i = \log_e\left(\frac{1}{1-x}\right) \quad\mbox{ per } |x|\le 1, \, x\not= 1
  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i}{2i+1} x^{2i+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots = \arctan(x)
  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{2i+1}}{2i+1} = \mathrm{arctanh} (x) \quad\mbox{ per } |x| < 1

Con denominatori fattoriali[modifica | modifica sorgente]

Molte serie che sono calcolate per mezzo del teorema di Taylor hanno coefficienti frazionari contenenti fattoriali.

  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^i}{i!} = e^x


  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i}{(2i+1)!} x^{2i+1}=  x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots = \sin x
  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i}{(2i)!} x^{2i} =  1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots = \cos x
  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!} = \sinh x
  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{x^{2i}}{(2i)!} = \cosh x

Con denominatori fattoriali modificati[modifica | modifica sorgente]

  • \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} = \arcsin x\quad\mbox{ for } |x| < 1
  • \sum^{\infty}_{i=0} \frac{(-1)^i (2i)!}{4^i (i!)^2 (2i+1)} x^{2i+1} = \mathrm{arcsinh}(x) \quad\mbox{ for } |x| < 1

Serie Binomiali[modifica | modifica sorgente]

Serie binomiale (include la radice quadrata per \alpha = 1/2 e la serie infinita geometrica per \alpha = -1):

Radice quadrata:

  • \sqrt{1+x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n \quad\mbox{ per} |x|<1

Serie geometrica:

  • (1+x)^{-1} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n \quad\mbox{ per } |x|<1
  • (1+x)^{n} = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \cdots

Forma generale:

  • (1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n\quad\mbox{ per ogni } |x| < 1 \mbox{ e tutti i complessi } \alpha

:con il generalizzato coefficiente binomiale :: {\alpha\choose n} = \prod_{k=1}^n \frac{\alpha-k+1}k = \frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}

Coefficienti Binomiali[modifica | modifica sorgente]

  • \sum_{i=0}^n {n \choose i} = 2^n
  • \sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{(n-i)} b^i = (a + b)^n
  • \sum_{i=0}^n (-1)^i{n \choose i} = 0
  • \sum_{i=0}^n {i \choose k} = { n+1 \choose k+1 }
  • \sum_{i=0}^n {k+i \choose i} = { k + n + 1 \choose n }
  • \sum_{i=0}^r {r \choose i}{s \choose n-i} = {r + s \choose n}

Funzioni Trigonometriche[modifica | modifica sorgente]

somma del seno e del coseno che si annullano nella Serie di Fourier.

  • \sum_{i=1}^n \sin\left(\frac{i\pi}{n}\right) = 0
  • \sum_{i=1}^n \cos\left(\frac{i\pi}{n}\right) = 0

Non classificabili[modifica | modifica sorgente]

  • \sum_{n=b+1}^{\infty} \frac{b}{n^2 - b^2} = \sum_{n=1}^{2b} \frac{1}{2n}

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ a b c d Theoretical computer science cheat sheet