Teorema di Cauchy-Hadamard

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In matematica, in particolare in analisi complessa, il teorema di Cauchy-Hadamard o formula di Cauchy-Hadamard, il cui nome è dovuto a Augustin-Louis Cauchy e Jacques Hadamard, descrive il raggio di convergenza di una serie di potenze.

Fu pubblicato nel 1821 da Cauchy, ma rimase relativamente sconosciuto fino a quando Hadamard lo riscoprì.[1] La prima pubblicazione di Hadamard del teorema risale al 1888.[2]

Il teorema[modifica | modifica wikitesto]

Data una serie formale di potenze in una variabile complessa z della forma:

f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z-a)^{n}

con a,c_n\in\mathbb{C}, il raggio di convergenza di f nel punto a è dato da:

\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \big( | c_{n} |^{1/n} \big)

dove \limsup denota il limite superiore, cioè il limite dell'estremo superiore dei valori della successione dopo la posizione n-esima per n che tende a infinito. Se i termini della successione sono illimitati in modo che il limite superiore è ∞, allora la serie di potenze non converge vicino ad a, mentre se il limite superiore è 0 allora il raggio di convergenza è ∞, ovvero la serie converge in tutto il piano complesso.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Si assuma senza perdita di generalità che a=0. Si vuole mostrare che la serie di potenze \sum c_n z^n converge per |z|<R e diverge per |z|>R.

Sia |z|<R e t=1/R diverso da zero e infinito. Per ogni \epsilon > 0 esiste solo un numero finito di n tale che:

\sqrt[n]{|c_n|}\geq t+\epsilon

Si ha che |c_n|\leq(t+\epsilon)^n per tutti i c_n eccetto un numero finito di essi: quindi la serie \sum c_n z^n converge se |z| < 1/(t+\epsilon).

D'altra parte, per \epsilon > 0 si ha |c_n|\geq (t-\epsilon)^n per infiniti c_n, in modo che se:

|z|=1/(t-\epsilon) > R

si nota che la serie non può convergere in quanto il suo n-esimo termine non tende a 0. Il caso in cui t è zero o infinito segue con facilità.[3]

Caso di più variabili complesse[modifica | modifica wikitesto]

Sia \alpha un multi-indice (una n-upla di interi), con |\alpha|=\alpha_1+\ldots+\alpha_n. Allora f(x) converge con raggio di convergenza \rho (che è un multi-indice) alla serie di potenze:

\sum_{\alpha\geq0}c_\alpha(z-a)^\alpha := \sum_{\alpha_1\geq0,\ldots,\alpha_n\geq0}c_{\alpha_1,\ldots,\alpha_n}(z_1-a_1)^{\alpha_1}\ldots(z_n-a_n)^{\alpha_n}

se e soltanto se:

\lim_{|\alpha|\to\infty} \sqrt[|\alpha|]{|c_\alpha|\rho^\alpha}=1

Una dimostrazione può essere trovata in Introduction to Complex Analysis Part II - Functions in several Variables di B.V.Shabat.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Umberto Bottazzini, The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, 1986, pp. 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0..
  2. ^ J. Hadamard, Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable in C. R. Acad. Sci. Paris, vol. 106, pp. 259–262..
  3. ^ Serge Lang, Complex Analysis: Fourth Edition, Springer, 2002, pp. 55–56, ISBN 0-387-98592-1.Graduate Texts in Mathematics

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) L. Hörmander, An introduction to complex analysis in several variables , North-Holland (1973) pp. Chapt. 2.4

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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