Serie esponenziale

In matematica, la serie esponenziale è una particolare serie di funzioni.

Essa è definita come $\!\,\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$, dove, per le convenzioni sul fattoriale, $0!=1$

Si può dimostrare che questa serie converge per ogni $x$ reale e risulta

$\!\, \forall x \in \R, \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}= e^x$

dove e è il numero di Nepero (o anche numero di Eulero). La funzione così definita è la funzione esponenziale.

Uno dei metodi per definire il valore $e$ è proprio come somma della serie esponenziale per x =1, cioè

$e:=\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}$

La serie esponenziale può essere estesa al campo complesso lasciandone invariata la definizione; è proprio attraverso questa generalizzazione che è possibile dimostrare la nota formula di Eulero.

Voci correlate

• Serie di funzioni
• Serie geometrica
• Serie armonica
• Serie di Mengoli
• Progressione geometrica
• Funzione Gamma
• Matrice esponenziale
• Esponenziale di un operatore

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