Numero perfetto

Un numero naturale n si dice perfetto quando $\sigma\left(n\right)$= 2n dove la funzione $\sigma\left(n\right)$ è la funzione sigma cioè la funzione che fornisce la somma dei divisori positivi di n. Poiché fra i divisori positivi di n c'è n stesso questo equivale a dire che n è uguale alla somma dei suoi divisori propri.

Ad esempio, il numero 28, divisibile per 1, 2, 4, 7, 14 è un numero perfetto: lo stesso per 6 che è divisibile per 1, 2 e 3.

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Cenni storici

I numeri perfetti furono inizialmente studiati dai pitagorici. Un teorema enunciato da Pitagora e dimostrato da Euclide rivelò che se  2ⁿ⁺¹ - 1  è un numero primo, allora  2ⁿ · (2ⁿ⁺¹ - 1)  è perfetto. Successivamente Eulero dimostrò che tutti i numeri perfetti pari devono essere di tale forma. I numeri nella forma  2ⁿ⁺¹ - 1  che sono primi sono detti primi di Mersenne. Si dimostra facilmente che se n+1 non è primo allora non lo è neanche  2ⁿ⁺¹ - 1 .

I numeri perfetti godevano di una particolare importanza nella cultura ebraica come dimostra il fatto che, secondo l'ebraismo, il Mondo era stato creato in 6 giorni e il calendario ebraico si basava sul mese lunare, di 28 giorni. Le proprietà matematiche e religiose di questi numeri perfetti vennero sottolineate in seguito anche da alcuni commentatori cristiani. Nel suo celebre trattato "La città di Dio", Sant'Agostino scrisse: "Sei è un numero perfetto in sé stesso, e non perché Dio ha creato tutte le cose in sei giorni. Anzi è vero l'opposto: Dio ha creato tutte le cose in sei giorni proprio perché questo è un numero perfetto".

Conoscenze attuali

Ad oggi si conoscono 48 perfetti, il più grande dei quali ha 34.850.340 cifre.

Esempio: 6 = 2¹ · (2² - 1)

Da questo risulta che ogni numero perfetto pari è necessariamente:

• un numero triangolare, visto che si può scrivere

$2^n (2^{n+1}-1) = {(2^{n+1}-1)(2^{n+1}-1+1) \over 2} = {k(k+1) \over 2}$

• un numero esagonale, visto che si può scrivere

$2^n (2^{n+1}-1) \,=\, 2^{2n+1} - 2^n= 2k^2-k$

I primi 10 numeri perfetti sono:

• 6
• 28
• 496
• 8128
• 33 550 336 (8 cifre)
• 8 589 869 056 (10 cifre)
• 137 438 691 328 (12 cifre)
• 2 305 843 008 139 952 128 (19 cifre)
• 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 (37 cifre)
• 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216 (54 cifre)

L'undicesimo numero perfetto è composto da 65 cifre, il dodicesimo da 77 e il tredicesimo da ben 314 cifre. Si conoscono solo 48 primi di Mersenne, e quindi 48 numeri perfetti. Il più grande tra questi è 2^57.885.160 × (2^57.885.161 − 1), formato in base 10 da 34.850.340 cifre.

I primi 39 numeri perfetti sono pari e quindi esprimibili come 2ⁿ(2ⁿ⁺¹ - 1) con:

n+1 = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 (Sequenza A000043 della OEIS-On-Line Encyclopedia of Integer Sequences).

Si conoscono altri 9 numeri perfetti maggiori, con

n+1 = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161

Tuttavia non si è ancora verificato se ve ne sono altri in mezzo.

Non si sa se i numeri perfetti continuino all'infinito né se esistono numeri perfetti dispari, però tutti i numeri perfetti pari terminano con 6 oppure con 8.

Infatti da  2ⁿ · (2ⁿ⁺¹ - 1)  si ha che:

 2ⁿ è pari e termina 2, 4, 8, 6;

(2ⁿ⁺¹ - 1)  è dispari e termina per 3, 7, 5, 1.

Il valore '5' va scartato in quanto cadrebbe l'ipotesi di primalità, quindi le coppie che rimangono sono (2,3), (4,7) e (6,1), i cui prodotti danno i numeri 6 ed 8, finali di ogni numero perfetto

Se la somma dei divisori è maggiore del numero, esso si dice abbondante, se risulta minore, verrà chiamato difettivo.

Benché esistano infiniti numeri lievemente difettivi, cioè difettivi solo per un'unità, ad esempio 4, i cui divisori sono 1 e 2, la cui somma è uguale a 3, nessuno è ancora riuscito a trovare numeri lievemente abbondanti.

Tutti i numeri potenza di due sono lievementi difettivi infatti:

se k= 2ⁿ  un divisore di k deve essere una potenza di due e tutte le potenze di due inferiori a k dividono k

la somma delle prime n-1 potenze di due è  2ⁿ - 1 

Bibliografia

• Kevin Hare (2005): New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number. Preprint disponibile nella pagina web dell'autore.

Voci correlate

• Numero semi-perfetto
• Numero primo di Mersenne
• Numeri amicabili
• Numero abbondante
• Numero lievemente abbondante
• Numero lievemente difettivo

Altri progetti

• Questa voce è inclusa nel libro di Wikipedia Pitagorismo.

Collegamenti esterni

• Perfect, amicable and sociable numbers di David Moews
• Perfect numbers - History and Theory in MacTutor
• Perfect Number in MathWorld
• Sequence A000396 della On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

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