Numero perfetto

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Un numero naturale N si dice perfetto quando \sigma\left(N\right)=2N dove la funzione \sigma\left(N\right) è la funzione sigma cioè la funzione che fornisce la somma dei divisori positivi di N. Poiché fra i divisori positivi di N c'è N stesso, questo equivale a dire che N è uguale alla somma dei suoi divisori propri.

Ad esempio, il numero 28, divisibile per 1, 2, 4, 7, 14 è un numero perfetto: lo stesso per 6 che è divisibile per 1, 2 e 3.

6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Cenni storici[modifica | modifica wikitesto]

I numeri perfetti furono inizialmente studiati dai pitagorici. Un teorema enunciato da Pitagora e dimostrato da Euclide rivelò che se 2n − 1 è un numero primo, allora 2n-1 × (2n − 1) è perfetto. Successivamente Eulero dimostrò che tutti i numeri perfetti pari devono essere di tale forma. I numeri nella forma 2n − 1 che sono primi sono detti primi di Mersenne. Si dimostra facilmente che se n non è primo allora non lo è neanche 2n − 1.

I numeri perfetti godevano di una particolare importanza nella cultura ebraica come dimostra il fatto che, secondo l'ebraismo, il Mondo era stato creato in 6 giorni e il calendario ebraico si basava sul mese lunare, di 28 giorni. Le proprietà matematiche e religiose di questi numeri perfetti vennero sottolineate in seguito anche da alcuni commentatori cristiani. Nel suo trattato "La Genesi alla lettera", libro IV, par.7,14, Sant'Agostino scrisse: "Sei è un numero perfetto in sé stesso, e non perché Dio ha creato tutte le cose in sei giorni. Anzi è vero l'opposto: Dio ha creato tutte le cose in sei giorni proprio perché questo è un numero perfetto".

Conoscenze attuali[modifica | modifica wikitesto]

Ad oggi si conoscono 48 numeri perfetti, il più grande dei quali ha 34850340 cifre.

Esempio: 6 = 21 × (22 − 1)

Per via dell'espressione 2n-1 × (2n − 1) ogni numero perfetto pari è necessariamente:

2^{n-1} (2^{n}-1) = {(2^{n}-1) \times 2^{n} \over 2} = {k(k+1) \over 2}

k=2^{n}-1

2^{n-1} (2^{n}-1) \,=\, 2^{2n-1} - 2^{n-1}= 2k^2-k

k=2^{n-1}

  • è anche un numero pratico
  • ha come espressione binaria  p  valori uguali a uno seguiti da  p − 1  zeri (con p numero primo). Qui l'indice denota la base in cui il numero viene espresso:
610 = 1102
2810 = 111002
49610 = 1111100002
812810 = 11111110000002
3355033610 = 11111111111110000000000002.

I primi 10 numeri perfetti sono:

  • 6
  • 28
  • 496
  • 8128
  • 33 550 336 (8 cifre)
  • 8 589 869 056 (10 cifre)
  • 137 438 691 328 (12 cifre)
  • 2 305 843 008 139 952 128 (19 cifre)
  • 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 (37 cifre)
  • 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216 (54 cifre)

L'undicesimo numero perfetto è composto da 65 cifre, il dodicesimo da 77 e il tredicesimo da ben 314 cifre. Fino ad ora[1] si conoscono solo 48 primi di Mersenne, e quindi 48 numeri perfetti[2]. Il più grande tra questi è 257885160 × (257885161 − 1), formato in base 10 da 34850340 cifre.

I primi 44 numeri perfetti sono pari e quindi esprimibili come 2p-1(2p − 1) con:

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657[3].

Si conoscono altri 4 numeri perfetti maggiori, con

p = 37156667, 42643801, 43112609, 57885161

Tuttavia non si è ancora verificato se ve ne sono altri in mezzo.

Non si sa se i numeri perfetti continuino all'infinito né se esistono numeri perfetti dispari, però tutti i numeri perfetti pari terminano con un 6 oppure con un 8.

Infatti da 2n-1 × (2n − 1) si ha che:
 2n-1 è pari e termina per 2, 4, 8, 6;
(2n − 1) è dispari e termina per 3, 7, 5, 1.
La cifra finale '5' va scartata perché sappiamo che (2n − 1) dev'essere primo, quindi le coppie che rimangono sono (2,3), (4,7) e (6,1), i cui prodotti danno le cifre 6 e 8 come finali di ogni numero perfetto pari.

Se la somma dei divisori di N è maggiore di N, il numero N viene detto abbondante, mentre se risulta minore di N esso viene chiamato difettivo. Ogni numero N che verifica \sigma\left(N\right) = 2N+1 viene detto lievemente abbondante, mentre un numero che verifica \sigma\left(N\right) = 2N-1 viene detto lievemente difettivo. Finora nessuno è riuscito a trovare numeri lievemente abbondanti. D'altra parte, mentre è facile verificare che tutte le potenze di due sono numeri lievemente difettivi, non si sa ancora se esistono numeri lievemente difettivi diversi da una potenze di due.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Fino a novembre 2014.
  2. ^ GIMPS Home
  3. ^ (EN) Sequenza A000043 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

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