Teorema di Dirichlet

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Nella teoria dei numeri, il teorema di Dirichlet afferma che dati due numeri interi coprimi a e b, esistono infiniti primi della forma a + nb, dove b > 0 (n ∈ N), o, in altre parole, ogni progressione aritmetica siffatta contiene infiniti numeri primi.

Questo teorema rappresenta una naturale generalizzazione di quanto affermato da Euclide, e cioè che esistono infiniti numeri primi (ciò infatti rappresenta il caso particolare in cui a = b = 1). In effetti, è in genere piuttosto facile dimostrare casi particolari di questo teorema (ad esempio che esistono infiniti primi della forma 4n + 1, o 4n + 3, o 6n + 5, etc), ma il caso generale presenta invece parecchie difficoltà. È importante osservare che il teorema non dice affatto che esistono infiniti numeri primi consecutivi in progressione aritmetica. Eulero affermò che ogni progressione aritmetica che cominci con 1 contiene un infinito numero di primi. Il teorema in questa forma fu prima congetturato da Gauss e dimostrato da Dirichlet nel 1835 con le L-serie di Dirichlet. La dimostrazione è modellata sul precedente lavoro di Eulero che collegava la funzione zeta di Riemann alla distribuzione dei numeri primi. Il teorema rappresenta l'inizio della moderna teoria dei numeri analitica.

Nella teoria dei numeri algebrica il teorema di Dirichlet viene generalizzato al teorema di densità di Chebotarev.

Casi particolari[modifica | modifica sorgente]

Esistono delle dimostrazioni elementari per numerosi casi particolari del teorema, che si ottengono sulla falsariga della dimostrazione dell'infinità dei numeri primi data da Euclide.

Primi della forma 4n - 1[modifica | modifica sorgente]

Supponiamo per assurdo che esistano solo un numero finito di primi della forma 4n-1, e sia p il più grande di essi. Consideriamo il seguente intero:

N = 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot ... \cdot p - 1

dove il prodotto contiene tutti i numeri primi dispari minori o uguali a p. N è un numero della forma 4n - 1, ed essendo N > p, deve essere composto. Tutti i suoi fattori sono inoltre maggiori di p e, quindi, devono essere della forma 4n+1[1]. Ma il prodotto di due o più numeri di questa forma è ancora della forma 4n+1. Ciò conduce ad un assurdo, pertanto esistono infiniti numeri primi della forma 4n-1.

Primi della forma 4n + 1[modifica | modifica sorgente]

Sia N > 1 \, un intero. Poniamo m = (N!)^2 + 1 ; m è quindi dispari e maggiore di 1. Chiamiamo p il più piccolo divisore primo di m . Poiché m non è divisibile per nessuno dei numeri 2, 3, ..., N \, , allora p > N , e inoltre

(N!)^2 \equiv -1 \pmod{p}

Eleviamo entrambi i membri all'esponente (p-1)/2 :

(N!)^{p-1} \equiv (-1)^{p-1/2} \pmod{p}

Per il teorema di Fermat, (N!)^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}, quindi (-1)^{(p-1)/2} \equiv 1 \pmod{p} . Questa congruenza è evidentemente soddisfatta solo se (p-1)/2 è pari, e quindi p \equiv 1 \pmod{4} . In definitiva, per ogni N esiste un primo p > N della forma 4n + 1 . I numeri di questa forma sono dunque infiniti.

Altri casi particolari[modifica | modifica sorgente]

Si possono fornire delle dimostrazioni semplici per molti altri casi, come le forme 6n+1 , 6n-1 , 8n+1 , 8n+3 , 8n-1 , 8n-3 , 12n-1 , 12n+5 , 12n-5 ; con tecniche elementari, uno dei risultati più generali noti è che esistono infiniti numeri primi nelle progressioni aritmetiche delle forme bn + 1 e bn - 1 , ossia i casi particolari del teorema di Dirichlet in cui a = +1 e a = -1 .

Problemi analoghi[modifica | modifica sorgente]

Il teorema può essere riespresso affermando che ogni polinomio di primo grado ax + b genera infiniti numeri primi quando alla x sono assegnati valori che sono numeri naturali, a patto che a e b siano coprimi. È istintivo tentare delle generalizzazioni: si congettura per esempio che ogni polinomio di secondo grado ax2 + bx + c con a, b, c coprimi, a positivo, a + b e c non entrambi pari e discriminante che non sia un quadrato perfetto, generi infiniti numeri primi; analoga affermazione vale per i polinomi di grado superiore (purché ovviamente non siano fattorizzabili). La soluzione di problemi di questo tipo sembra ancora lontana, anche nei casi semplici come il polinomio x2 + 1. Tuttavia lo stesso Dirichlet dimostrò che ogni forma quadratica in due variabili ax2 + bxy + cy2 con a, b e c coprimi genera infiniti numeri primi; B. M. Bredihin provò che anche la forma x2 + y2 + 1 genera infiniti primi, e recentemente (John Friedlander e Henryk Iwaniec, 1998) lo stesso è stato dimostrato per la forma x2 + y4.[2]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Essendo N+1 multiplo di ogni primo minore di p, N è invece con essi coprimo; perciò, ogni suo fattore primo deve essere maggiore di p e, dovendo essere ovviamente dispari, ma non potendo essere della forma 4n-1 (per ipotesi), deve essere della forma 4n+1.
  2. ^ John Friedlander, Iwaniec, Henryk, The polynomial X2 + Y4 captures its primes in Annals of Mathematics, vol. 148, 1998, pp. 945–1040, DOI:10.2307/121034.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]


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