Numero quadrato triangolare

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Un numero quadrato triangolare è un numero che è sia triangolare sia quadrato. Esistono infiniti numeri triangolari quadrati[1], dati dalla formula:

 N_k = {1 \over 32} \left( \left( 1 + \sqrt{2} \right)^{2k} - \left( 1 - \sqrt{2} \right)^{2k} \right)^2 .

Il 36, ad esempio, può essere rappresentato sia come quadrato sia come triangolo:

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Il problema della ricerca di numeri triangolari quadrati si riduce all'equazione di Pell. Infatti, si tratta di trovare due numeri q e t tali che il q-esimo numero quadrato sia uguale al t-esimo numero triangolare:

\,t(t+1)/2 = q^2

Con qualche trasformazione diventa:

\,t^2+t = 2q^2
\,t^2+2t/2+1/4-1/4 = 2q^2
\,(t+1/2)^2 = 2q^2+1/4
\,(2t+1)^2 = 8q^2+1

Sostituendo m = 2t + 1 e n = 2q, otteniamo la seguente equazione diofantea:

\,m^2=2n^2+1

che è un'equazione di Pell.

Il k-esimo numero triangolare quadrato Nk è uguale al q-esimo quadrato e al t-esimo triangolare tali che:

 q(N) = \sqrt{N},
 t(N) = \lfloor \sqrt{2 N} \rfloor.

t è dato dalla formula:

 t(N_k) = {1 \over 4} \left[ \left( \left( 1 + \sqrt{2} \right)^k + \left( 1 - \sqrt{2} \right)^k \right)^2 - \left( 1 + (-1)^k \right)^2 \right] .

Al crescere di k, il rapporto t/s tende alla radice di due:

 \begin{matrix} N=1 & q=1 & t=1 & t/q=1
\\ N=36 & q=6 & t=8 & t/q = 1.3333333
\\ N=1225 & q=35 & t=49 & t/q = 1.4
\\ N=41616 & q=204 & t=288 & t/q = 1.4117647
\\ N=1.413.721 & q=1189 & t=1681 & t/q = 1.4137931
\\ N=48.024.900 & q=6930 & t=9800 & t/q = 1.4141414
\\ N=1.631.432.881 & q=40391 & t=57121 & t/q = 1.4142011
\end{matrix}

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) Sequenza A001110 in On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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