Funzione base-13 di Conway

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La funzione base-13 di Conway è una funzione creata dal matematico britannico John H. Conway. La funzione soddisfa la tesi del teorema dei valori intermedi senza essere continua.

Obiettivo[modifica | modifica wikitesto]

Il teorema dei valori intermedi asserisce che ogni funzione continua f definita su un intervallo reale soddisfa la proprietà seguente: se a, b sono due punti dell'intervallo tali che f(a)<f(b) e x è un numero reale tale che f(a)<x<f(b) allora esiste un c compreso fra a e b tale che f(c)=x.

La funzione base-13 di Conway è una funzione discontinua in ogni punto che soddisfa comunque la tesi del teorema. Gli unici esempi noti precedentemente avevano discontinuità solo in alcuni punti isolati: un esempio è la funzione

f(x) = \sin{\frac 1 x}.

definita su tutta la retta reale imponendo in zero il valore f(0)=0. Anche questa funzione soddisfa la tesi del teorema, ed è discontinua nell'origine.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

La funzione base-13 di Conway è una funzione f: (0,1) \to \mathbb{R} definita come segue.

Si indichino con {0,1,2,...,9,A,B,C} le cifre in base 13 e si consideri la rappresentazione

a_\dots a_m,a_{m+1}\dots a_n\dots

di  x \in (0,1) in tale base (rappresentazione che è unica se si esclude il caso di sequenze infinite di C). Allora f(x)=0 a meno che esista un indice j tale che

  •  a_j\in\{B,C\},
  •  a_i\in\{0,1,2,...,9,A\} per i > j,
  • esiste un unico k > j tale che  a_k=A.

In questo caso si definisce f(x) ponendo

f(x):=\pm a_{j+1}\dots a_{k-1},a_{k+1}a_{k+2}\dots

in base 10, ove il segno è + se  a_j=C e - se  a_j=B.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La cosa importante da notare è che la funzione f definita in tal modo soddisfa l'inverso del teorema dei valori intermedi, ma non è continua in nessun punto. Infatti, in ogni intervallo chiuso e limitato [a,b] contenuto in (0,1), f assume ogni valore reale e quindi in particolare ogni valore compreso tra f(a) e f(b). Per vedere ciò, si noti che ogni q \in\R si può scrivere in base 10 come

c=\pm b_{1}\dots b_{l},b_{l+1}\dots

per opportuni b_{r}\in\{0,\dots,9\}. Inoltre, è facile vedere che i numeri la cui espansione in base 13 finisce con

c=b_0 b_{1}\dots b_{l}Ab_{l+1}\dots (ove b_0=C se c > 0, b_0=B altrimenti)

sono densi in \R ed in particolare ve n'è almeno uno di essi, d, che è compreso in [a,b]. Si può concludere quindi osservando che dalla definizione di f si ha

f(d)=c.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Agboola, Adebisi, Lecture. Math CS 120, Università della California, Santa Barbara, 17 dicembre 2005.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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