Solido platonico

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In matematica, in particolare in geometria solida, il termine solido platonico è sinonimo di solido regolare e di poliedro convesso regolare e si definisce come poliedro convesso che ha per facce poligoni regolari congruenti (cioè sovrapponibili esattamente) e che ha tutti gli spigoli e i vertici equivalenti. Ne consegue che anche i suoi angoloidi hanno la stessa ampiezza.

I cinque poliedri convessi regolari (solidi Platonici)
tetraedro esaedro
o cubo
ottaedro dodecaedro icosaedro
Tetrahedron.jpg

(Animazione)

Hexahedron.jpg

(Animazione)

Octahedron.svg

(Animazione)

POV-Ray-Dodecahedron.svg

(Animazione)

Icosahedron.svg

(Animazione)

Il nome di ogni figura è derivata dal numero delle sue facce, rispettivamente 4, 6, 8, 12, e 20.

Perché sono al più cinque? (Spiegazione intuitiva)[modifica | modifica wikitesto]

Soltanto il triangolo equilatero, il quadrato e il pentagono regolare possono essere facce di poliedri regolari; infatti in un vertice di un poliedro devono convergere almeno 3 facce che non stiano sullo stesso piano; quindi la somma dei loro angoli deve essere inferiore a 360°.
Angoli tetraedro.gif Ogni angolo di un triangolo equilatero misura 60°:
è quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 60 = 180) ottenendo un tetraedro regolare,

Angoli ottaedro.gif 4 facce (4 x 60 = 240) ottenendo un ottaedro regolare

Angoli icosaedro.gif e 5 facce (5 x 60 = 300) ottenendo un icosaedro regolare.

Ogni angolo di un quadrato misura 90°: è quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 90 = 270) ottenendo un cubo.

Ogni angolo di un pentagono regolare misura 108°. È quindi possibile far incontrare in un vertice 3 facce (3 x 108 = 324) ottenendo un dodecaedro regolare.

Ogni angolo di un esagono regolare misura 120° e quindi 3 facce che si incontrassero in un vertice risulterebbero sullo stesso piano (3 x 120 = 360).

Perché sono al più cinque? (Dimostrazione geometrica)[modifica | modifica wikitesto]

È possibile dimostrare che non esistono più di cinque poliedri regolari anche a partire dalla relazione di Eulero.

Sia dato poliedro con F facce, ognuna delle quali è un poligono regolare con n lati e nel quale, ad ogni vertice, si incontrano r spigoli, i quali sono in totale S.

Moltiplicando il numero dei lati di ogni faccia per il numero delle facce del poliedro si ottiene il doppio della totalità degli spigoli (ogni spigolo viene contato due volte, una sulla prima faccia ed una sulla faccia attaccata alla prima per quello spigolo):

nF = 2S

inoltre, la totalità degli spigoli moltiplicata per due equivale al numero dei vertici V moltiplicati per il numero r di spigoli che si incontrano in essi, perché ogni spigolo collega tra loro due vertici:

rV = 2S

quindi si ottiene

 F = \frac{2S}{n}
 V = \frac{2S}{r}

e sostituendo questi valori nella caratteristica di Eulero-Poincaré

 V + F - S = 2
 \frac{2S}{r}+\frac{2S}{n}-S = 2

e, dividendo per 2S, si arriva a

\frac{1}{r}+\frac{1}{n}-\frac{1}{2}=\frac{1}{S}

Entrambi n ed r devono essere maggiori o uguali a tre, poiché un poligono deve avere almeno tre lati ed almeno tre lati devono incontrarsi nel vertice di ciascuno degli angoloidi di un poliedro.

Inoltre n ed r non possono essere entrambi uguali a quattro, poiché in tal caso il primo membro dell'equazione sarebbe uguale a 0, mentre 1/S è positivo. Se n ed r fossero poi contemporaneamente maggiori di quattro, S dovrebbe essere negativo; questa possibilità è quindi esclusa, ed almeno uno deve essere tre.

Se n = 3, si ha

\frac{1}{3}+\frac{1}{r}-\frac{1}{2}=\frac{1}{S}
\frac{1}{r}-\frac{1}{6}=\frac{1}{S}

e quindi r può essere uguale solo a 3, 4, oppure 5, casi che corrispondono rispettivamente al tetraedro, all'ottaedro e all'icosaedro.

Allo stesso modo, se r = 3, allora n può assumere solo i valori 3, 4, oppure 5. Si può scartare 3 perché lo abbiamo considerato nel caso precedente; restano i casi 4 e 5, che corrispondono al cubo e al dodecaedro.

Non ci sono altri casi possibili, e quindi esistono al più cinque poliedri regolari.

Perché sono cinque?[modifica | modifica wikitesto]

Gli argomenti precedenti dimostrano che non possono esistere altri solidi platonici oltre ai cinque considerati, ma non che quei cinque esistano realmente. Una dimostrazione costruttiva dell'esistenza dei cinque solidi platonici è contenuta nell'ultimo libro degli Elementi di Euclide e costituisce la conclusione dell'opera. La prima dimostrazione di tale esistenza è stata attribuita al matematico greco Teetèto.[1]

Proprietà combinatorie[modifica | modifica wikitesto]

Un poliedro convesso è un solido platonico se:

  1. tutte le sue facce sono poligoni regolari convessi congruenti,
  2. nessuna delle sue facce interseca le altre se non negli spigoli, e
  3. in ogni vertice si incontrano lo stesso numero di facce.

Ogni solido platonico può essere anche connotato da una notazione {p, q} dove

p = il numero di lati di ogni faccia (o il numero di vertici di ogni faccia) e
q = il numero di facce che si incontra in ogni vertice (o il numero di spigoli che si incontrano in ogni vertice).

La sigla {p, q}, chiamata notazione di Schläfli, dà una descrizione combinatoria del poliedro. La notazione di Schläfli è esplicata nella tabella sottostante.

Poliedro Vertici Spigoli Facce Notazione di Schläfli Posizione
dei vertici
tetraedro Tetraedro 4 6 4 {3, 3} 3.3.3
cubo Esaedro (cubo) 8 12 6 {4, 3} 4.4.4
ottaedro Ottaedro 6 12 8 {3, 4} 3.3.3.3
dodecaedro Dodecaedro 20 30 12 {5, 3} 5.5.5
icosaedro Icosaedro 12 30 20 {3, 5} 3.3.3.3.3

Proprietà metriche dei solidi platonici[modifica | modifica wikitesto]

La tabella seguente raggruppa alcune delle principali proprietà metriche dei solidi platonici, posta d la misura dello spigolo di un poliedro.

Nome Raggio della sfera Superficie Volume
Inscritta Circoscritta Tangente gli spigoli
Tetraedro \frac{\sqrt{6}}{12}d \frac{\sqrt{6}}{4}d \frac{\sqrt{2}}{4}d \sqrt{3}d^2 \frac{\sqrt{2}}{12}d^3
Cubo o Esaedro \frac{1}{2}d \frac{\sqrt{3}}{2}d \frac{\sqrt{2}}{2}d 6d^2 d^3
Ottaedro \frac{\sqrt{6}}{6}d \frac{\sqrt{2}}{2}d \frac{1}{2}d 2\sqrt{3}d^2 \frac{\sqrt{2}}{3}d^3
Dodecaedro \frac{1}{20}\sqrt{(10(25+11\sqrt{5})}d \frac{\sqrt{3}}{4}(1+\sqrt{5}) d \frac{1}{4}(3+\sqrt{5})d 3\sqrt{25+10\sqrt{5}}d^2 \frac{1}{4}(15+7\sqrt{5})d^3
Icosaedro \frac{\sqrt{3}}{12}(3+\sqrt{5})d \frac{1}{4}\sqrt{(10+2\sqrt{5})}d \frac{1}{4}(1+\sqrt{5})d 5\sqrt{3}d^2 \frac{5}{12}(3+\sqrt{5})d^3

Dualità e simmetrie dei solidi platonici[modifica | modifica wikitesto]

La dualità poliedrale, cioè la trasfigurazione di un poliedro in un secondo poliedro che presenta rispettivamente i vertici, gli spigoli e le facce corrispondenti alle facce, agli spigoli e ai vertici del primo e che presenta le conseguenti relazioni di incidenza fra questi tre tipi di oggetti, è una involuzione che trasforma tetraedri in tetraedri e scambia cubi con ottaedri e dodecaedri con icosaedri.

La elevata regolarità di solidi platonici si rispecchia nel fatto che ciascuno di essi ha associato un esteso gruppo di simmetria. Questi gruppi si possono considerare sottogruppi dei gruppi di simmetria dei vertici o dei gruppi di simmetria degli spigoli o dei gruppi di simmetria delle facce. I gruppi di simmetria di due solidi platonici duali sono isomorfi: infatti per dualità le permutazioni dei vertici di un poliedro diventano permutazioni delle facce del poliedro duale (mentre le permutazioni degli spigoli di un poliedro diventano permutazioni degli spigoli del duale).

Il gruppo di simmetria del tetraedro viene indicato con Td, il gruppo di simmetria del cubo e dell'ottaedro con Oh, il gruppo di simmetria dell'icosaedro e del dodecaedro con Ih.

Solidi platonici e cristalli[modifica | modifica wikitesto]

Alcuni cristalli assumono la forma di solidi regolari: ad esempio il cloruro di sodio, il comune sale da cucina, si dispone in cristalli cubici, mentre il fluoruro di calcio, cioè la fluorite, si presenta in forma di ottaedri regolari. Sono poi molti i cristalli che si dispongono seguendo composizioni e varianti dei solidi platonici; questo equivale a dire che i rispettivi reticoli cristallini presentano spiccate proprietà di simmetria. Tali proprietà hanno un ruolo fondamentale per la loro classificazione.

In altre dimensioni[modifica | modifica wikitesto]

Può essere interessante notare che in uno spazio a quattro dimensioni esistono sei politopi regolari, mentre da cinque dimensioni in su ne esistono solamente tre (gli analoghi del cubo, del tetraedro regolare e dell'ottaedro regolare). Naturalmente nello spazio bidimensionale i poligoni regolari sono invece infiniti.

Cenni storici[modifica | modifica wikitesto]

Le regolarità dei solidi platonici sono straordinariamente suggestive: questo ha fatto sì che venissero ampiamente studiati fin dall'antichità, spesso cercando in essi significati nascosti e attribuendo a loro valori esoterici.

Essi furono oggetto di studio di Pitagora e Platone.
Quest'ultimo, nel Timeo, associò ad ognuno di essi un elemento: al tetraedro il fuoco, al cubo la terra, all'ottaedro l'aria, all'icosaedro l'acqua, mentre nel Fedone ritenne che il dodecaedro fosse la forma dell'universo.

Essi furono poi studiati con ben maggiore razionalità dai geometri greco-alessandrini. Le costruzioni di questi solidi sono contenute nel Libro XIII degli Elementi di Euclide. La proposizione 13 descrive la costruzione del tetraedro regolare, la proposizione 14 è dedicata all'ottaedro regolare, la proposizione 15 al cubo, la proposizione 16 all'icosaedro regolare e la proposizione 17 al dodecaedro regolare.

I poliedri platonici nella storia dell'arte[modifica | modifica wikitesto]

Come si è accennato, l'idea di Platone che i solidi regolari facciano, per così dire, da tramite sul piano gnoseologico tra i disordinati fenomeni naturali e la perfezione del mondo iperuranio, non poteva non influenzare il pensiero degli uomini del Rinascimento intriso com'era di teorie neo-platoniche.

L'interesse per i solidi platonici fu vivo tra matematici ed artisti rinascimentali: ne studiarono le proprietà metriche Piero della Francesca (nel trattato De corporibus regularibus), Luca Pacioli e successivamente Niccolò Tartaglia e Rafael Bombelli.

Si deve ricordare come Luca Pacioli pubblichi nel 1509 il De Divina Proportione, con le celebri illustrazioni di poliedri eseguite da Leonardo. Le stesse illustrazioni vengono riprese con sorprendente maestria da Fra Giovanni da Verona (c. 1457-1525) nella realizzazione delle tarsie della chiesa di Santa Maria in Organo a Verona. Tra i poliedri studiati da Luca Pacioli, troviamo anche alcuni poliedri archimedei ed un poliedro "stellato" ("stella octangula"), ottenuto componendo tra loro un tetraedro con un secondo tetraedro ruotato di 180 gradi.

Keplero nel sua opera Mysterium cosmografaphicum, riprende, in termini diversi, l'indagine di Platone attorno al senso dei poliedri regolari nella struttura del mondo: sostiene che i poliedri platonici sono strettamente connessi alle armoniose proporzioni che lo caratterizzano: «La Terra è la sfera che misura tutte le altre. Circoscrivi ad essa un dodecaedro: la sfera che lo comprende sarà Marte [nel senso che contiene l'orbita, che allora ancora riteneva circolare, del suo moto attorno al sole]. Circoscrivi a Marte un tetraedro: la sfera che lo comprende sarà Giove. Circoscrivi a Giove un cubo: la sfera che lo comprende sarà Saturno. Ora inscrivi alla Terra un icosaedro: la sfera inscritta ad essa sarà Venere. Inscrivi a Venere un ottaedro: la sfera inscritta ad essa sarà Mercurio. Hai la ragione del numero dei pianeti.»

La stessa fantasiosa idea di un rapporto stretto tra armonia dell'universo e solidi platonici è ripresa, sia pure in termini diversi, nella successiva opera Harmonices Mundi.
Il fascino dei poliedri, e l'idea platonica che riserva ad essi, in considerazione della loro bellezza, un ruolo rilevante nel coniugare il mondo umano con il mistero della trascendenza, viene ripresa più volte nella storia dell'arte.

Si pensi, in ambito surrealista, a Salvador Dalí ed a sue opere come Corpus Ipercubus (in cui la croce è sostituita dallo sviluppo nello spazio tridimensionale di un ipercubo), e Ultima Cena (in cui la scena è ambientata all'interno di un dodecaedro).

Va citato ovviamente anche Maurits Cornelis Escher di cui è noto il grande interesse per le strutture matematiche. Nell'opera Cascata, ad esempio, troviamo raffigurati due poliedri che si ottengono intrecciando poliedri platonici ruotati attorno al centro.

Oltre al surrealismo, anche l'arte cinetica e programmata, verso la metà del XX secolo, ha fatto ricorso alla razionalistica suggestione di strutture geometriche. La computer art ha dato nuovo impulso alla esplorazione di complicate strutture che derivano dall'intreccio di poliedri ruotati tra loro. Mostra interesse per gli approdi della computer art anche l'artista italiano Lucio Saffaro, che, anche tramite originali ricerche matematiche, pone quasi ossessivamente i poliedri al centro delle sue opere.

Nell'anime Neon Genesis Evangelion, l'angelo Ramiel ha forma di ottaedro.

I dadi a forma di solidi platonici sono spesso utilizzati nei Giochi di ruolo

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) George Johnston Allman, Greek Geometry from Thales to Euclid, Hodges, Figgis, & Company, 1889, p. 206.

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