Solido di Johnson

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La girobicupola quadrata elongata, il solido di Johnson con sigla J37

In geometria un solido di Johnson è un poliedro convesso le cui facce sono tutte costituite da poligoni regolari, ma che non è né un solido platonico, né un solido archimedeo, né un prisma, né un antiprisma. Le diverse facce possono essere poligoni con numeri diversi di lati. Il più semplice esempio di solido di Johnson è la piramide a base quadrata; essa ha una faccia quadrata e quattro facce triangolari.

I solidi di Johnson sono 92, e vengono generalmente indicati con una sigla che va da J_1 fino a J_{92}.

Cenni storici[modifica | modifica sorgente]

Nel 1966, Norman Johnson ha pubblicato una lista di poliedri che include tutti i 92 solidi e ha dato loro i nomi e i numeri da allora entrati nell'uso. Egli non ha dimostrato che di tali solidi ce ne fossero solo 92, ma ha avanzato questa congettura. La dimostrazione che la lista trovata da Johnson fosse completa è stata fornita da Victor Zalgaller nel 1969.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Valenze ai vertici[modifica | modifica sorgente]

Come in ogni solido strettamente convesso, in ogni vertice incidono almeno tre facce e l'ampiezza totale dei loro angoli deve essere inferiore a 360°. Dato che un poligono regolare possiede angoli di almeno 60°, accade che in ogni vertice incidono al più cinque facce. La piramide pentagonale (J2) costituisce un esempio di solido con un vertice di valenza 5.

Tra i solidi di Johnson la girobicupola quadrata elongata (J37) è l'unica che risulta essere localmente regolare sui vertici: in ogni vertice incidono quattro facce e la composizione di queste quaterne è sempre la stessa: tre quadrati e un triangolo.

Facce[modifica | modifica sorgente]

Gli unici poligoni che sono facce di qualche poliedro di Johnson hanno numero di lati pari a 3, 4, 5, 6, 8 o 10. Questo dato è il risultato della classificazione: non sembrano esserci modi più diretti per mostrare che solo questi valori sono ammessi.

Nomi[modifica | modifica sorgente]

A prima vista i nomi dei poliedri di Johnson sembrano complicate bizzarrie; in realtà sono stati scelti in modo da risultare il più possibile descrittivi. Per padroneggiare i significati dei nomi bisogna osservare che gran parte dei solidi di Johnson si possono costruire con elaborazioni relativamente semplici a partire da poliedri piuttosto semplici: le prime piramidi, le cupole, le rotunde, i solidi platonici, i solidi archimedei, i prismi e gli antiprismi. Vediamo quindi il significato degli elementi lessicali utilizzati nei nomi.

  • Il prefisso bi- significa che vengono unite per le basi due copie del solido richiamato successivamente. Le cupole e le rotunde si possono unire facendo incontrare o facce simili (si usa il prefisso (orto-) o facce dissimili (si usa il prefisso giro-). Secondo questa nomenclatura, un ottaedro viene chiamato bipiramide quadrata, un cubottaedro viene detto girobicupola e un icosidodecaedro viene chiamato girobirotunda pentagonale.
  • L'aggettivo elongato significa che è stato incollato un prisma alla base del solido richiamato o tra le basi dei solidi richiamati. Un rombicubottaedro diventa anche una ortobicupola quadrata elongata.
  • L'aggettivo giroelongato viene usato quando è stato incollato un antiprisma alla base del solido in questione o tra le basi di due solidi in questione. Un icosaedro sarebbe una bipiramide pentagonale giroelongata.
  • Aumentato significa che una piramide o una cupola è stata aggiunta a una faccia del solido in questione.
  • Diminuito viene usato quando dal solido richiamato è stata rimossa una piramide o una cupola.
  • Girato esprime il fatto che una cupola posta sul solido in questione è stata ruotata in modo che vengano a coincidere coppie di spigoli prima distinti, come per la differenza tra ortobicupole e girobicupole.

Nomi e numeri di Johnson[modifica | modifica sorgente]

I nomi e i numeri di Johnson per i solidi in esame sono i seguenti.

Piramidi, cupole e rotunda[modifica | modifica sorgente]

Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria
1 Piramide quadrata Square pyramid.png Piramide 5 8 5 4 1 0 0 0 0 C4v
2 Piramide pentagonale Pentagonal pyramid.png Piramide 6 10 6 5 0 1 0 0 0 C5v
3 Cupola triangolare Triangular cupola.png Cupola 9 15 8 4 3 0 1 0 0 C3v
4 Cupola quadrata Square cupola.png Cupola 12 20 10 4 5 0 0 1 0 C4v
5 Cupola pentagonale Pentagonal cupola.png Cupola 15 25 12 5 5 1 0 0 1 C5v
6 Rotunda pentagonale Pentagonal rotunda.png Rotunda 20 35 17 10 0 6 0 0 1 C5v

Piramidi modificate[modifica | modifica sorgente]

Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria
7 Piramide triangolare elongata Elongated triangular pyramid.png Piramide elongata 7 12 7 4 3 0 0 0 0 C3v
8 Piramide quadrata elongata Elongated square pyramid.png Piramide elongata 9 16 9 4 5 0 0 0 0 C4v
9 Piramide pentagonale elongata Elongated pentagonal pyramid.png Piramide elongata 11 20 11 5 5 1 0 0 0 C5v
10 Piramide quadrata giroelongata Gyroelongated square pyramid.png Piramide giroelongata 9 20 13 12 1 0 0 0 0 C4v
11 Piramide pentagonale giroelongata Gyroelongated pentagonal pyramid.png Piramide giroelongata 11 25 16 15 0 1 0 0 0 C5v
12 Dipiramide triangolare Triangular dipyramid.png Dipiramide 5 9 6 6 0 0 0 0 0 D3h
13 Dipiramide pentagonale Pentagonal dipyramid.png Dipiramide 7 15 10 10 0 0 0 0 0 D5h
14 Dipiramide elongata triangolare Elongated triangular dipyramid.png Dipiramide elongata 8 15 9 6 3 0 0 0 0 D3h
15 Dipiramide elongata quadrata Elongated square dipyramid.png Dipiramide elongata 10 20 12 8 4 0 0 0 0 D4h
16 Dipiramide elongata pentagonale Elongated pentagonal dipyramid.png Dipiramide elongata 12 25 15 10 5 0 0 0 0 D5h
17 Dipiramide giroelongata quadrata Gyroelongated square dipyramid.png Dipiramide giroelongata 10 24 16 16 0 0 0 0 0 D4d

Cupole e rotunde modificate[modifica | modifica sorgente]

Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria
18 Cupola triangolare elongata Elongated triangular cupola.png Cupola elongata 15 27 14 4 9 0 1 0 0 C3v
19 Cupola quadrata elongata Elongated square cupola.png Cupola elongata 20 36 18 4 13 0 0 1 0 C4v
20 Cupola pentagonale elongata Elongated pentagonal cupola.png Cupola elongata 25 45 22 5 15 1 0 0 1 C5v
21 Rotunda pentagonale elongata Elongated pentagonal rotunda.png Rotunda elongata 30 55 27 10 10 6 0 0 1 C5v
22 Cupola triangolare giroelongata Gyroelongated triangular cupola.png Cupola giroelongata 15 33 20 16 3 0 1 0 0 C3v
23 Cupola quadrata giroelongata Gyroelongated square cupola.png Cupola giroelongata 20 44 26 20 5 0 0 1 0 C4v
24 Cupola pentagonale giroelongata Gyroelongated pentagonal cupola.png Cupola giroelongata 25 55 32 25 5 1 0 0 1 C5v
25 Rotunda pentagonale giroelongata Gyroelongated pentagonal rotunda.png Rotunda giroelongata 30 65 37 30 0 6 0 0 1 C5v
26 Girobifastigio Gyrobifastigium.png Bicupola 8 14 8 4 4 0 0 0 0 D2d
27 Ortobicupola triangolare Triangular orthobicupola.png Bicupola 12 24 14 8 6 0 0 0 0 D3h
28 Ortobicupola quadrata Square orthobicupola.png Bicupola 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4h
29 Girobicupola quadrata Square gyrobicupola.png Bicupola 16 32 18 8 10 0 0 0 0 D4d
30 Ortobicupola pentagonale Pentagonal orthobicupola.png Bicupola 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5h
31 Girobicupola pentagonale Pentagonal gyrobicupola.png Bicupola 20 40 22 10 10 2 0 0 0 D5d
32 Ortocupolarotunda pentagonale Pentagonal orthocupolarotunda.png Cupolarotunda 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v
33 Girocupolarotunda pentagonale Pentagonal gyrocupolarotunda.png Cupolarotunda 25 50 27 15 5 7 0 0 0 C5v
34 Ortobirotunda pentagonale Pentagonal orthobirotunda.png Birotunda 30 60 32 20 0 12 0 0 0 D5h
35 Ortobicupola triangolare elongata Elongated triangular orthobicupola.png Bicupola elongata 18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3h
36 Girobicupola triangolare elongata Elongated triangular gyrobicupola.png Bicupola elongata 18 36 20 8 12 0 0 0 0 D3d
37 Girobicupola quadrata elongata Elongated square gyrobicupola.png Bicupola elongata 24 48 26 8 18 0 0 0 0 D4d
38 Ortobicupola pentagonale elongata Elongated pentagonal orthobicupola.png Bicupola elongata 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5h
39 Girobicupola pentagonale elongata Elongated pentagonal gyrobicupola.png Bicupola elongata 30 60 32 10 20 2 0 0 0 D5d
40 Ortocupolarotunda pentagonale elongata Elongated pentagonal orthocupolarotunda.png Cupolarotunda elongata 35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v
41 Girocupolarotunda pentagonale elongata Elongated pentagonal gyrocupolarotunda.png Cupolarotunda elongata 35 70 37 15 15 7 0 0 0 C5v
42 Ortobirotunda pentagonale elongata Elongated pentagonal orthobirotunda.png Birotunda elongata 40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5h
43 Girobirotunda pentagonale elongata Elongated pentagonal gyrobirotunda.png Birotunda elongata 40 80 42 20 10 12 0 0 0 D5d
44 Bicupola triangolare giroelongata Gyroelongated triangular bicupola.png Bicupola giroelongata 18 42 26 20 6 0 0 0 0 D3
45 Bicupola quadrata giroelongata Gyroelongated square bicupola.png Bicupola giroelongata 24 56 34 24 10 0 0 0 0 D4
46 Bicupola pentagonale giroelongata Gyroelongated pentagonal bicupola.png Bicupola giroelongata 30 70 42 30 10 2 0 0 0 D5
47 Cupolarotunda pentagonale giroelongata Gyroelongated pentagonal cupolarotunda.png Cupolarotunda giroelongata 35 80 47 35 5 7 0 0 0 C5
48 Birotunda pentagonale giroelongata Gyroelongated pentagonal birotunda.png Birotunda giroelongata 40 90 52 40 0 12 0 0 0 D5

Prismi aumentati[modifica | modifica sorgente]

Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria
49 Prisma triangolare aumentato Augmented triangular prism.png Prisma aumentato 7 13 8 6 2 0 0 0 0 C2v
50 Prisma triangolare biaumentato Biaugmented triangular prism.png Prisma aumentato 8 17 11 10 1 0 0 0 0 C2v
51 Prisma triangolare triaumentato Triaugmented triangular prism.png Prisma aumentato 9 21 14 14 0 0 0 0 0 D3h
52 Prisma pentagonale aumentato Augmented pentagonal prism.png Prisma aumentato 11 19 10 4 4 2 0 0 0 C2v
53 Prisma pentagonale biaumentato Biaugmented pentagonal prism.png Prisma aumentato 12 23 13 8 3 2 0 0 0 C2v
54 Prisma esagonale aumentato Augmented hexagonal prism.png Prisma aumentato 13 22 11 4 5 0 2 0 0 C2v
55 Prisma esagonale parabiaumentato Parabiaugmented hexagonal prism.png Prisma aumentato 14 26 14 8 4 0 2 0 0 D2h
56 Prisma esagonale metabiaumentato Metabiaugmented hexagonal prism.png Prisma aumentato 14 26 14 8 4 0 2 0 0 C2v
57 Prisma esagonale triaumentato Triaugmented hexagonal prism.png Prisma aumentato 15 30 17 12 3 0 2 0 0 D3h

Solidi platonici modificati[modifica | modifica sorgente]

Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria
58 Dodecaedro aumentato Augmented dodecahedron.png Dodecaedro aumentato 21 35 16 5 0 11 0 0 0 C5v
59 Dodecaedro parabiaumentato Parabiaugmented dodecahedron.png Dodecaedro aumentato 22 40 20 10 0 10 0 0 0 D5d
60 Dodecaedro metabiaumentato Metabiaugmented dodecahedron.png Dodecaedro aumentato 22 40 20 10 0 10 0 0 0 C2v
61 Dodecaedro triaumentato Triaugmented dodecahedron.png Dodecaedro aumentato 23 45 24 15 0 9 0 0 0 C3v
62 Icosaedro metabidiminuito Metabidiminished icosahedron.png Icosaedro diminuito 10 20 12 10 0 2 0 0 0 C2v
63 Icosaedro tridiminuito Tridiminished icosahedron.png Icosaedro diminuito 9 15 8 5 0 3 0 0 0 C3v
64 Icosaedro aumentato tridiminuito Augmented tridiminished icosahedron.png - 10 18 10 7 0 3 0 0 0 C3v

Solidi di Archimede modificati[modifica | modifica sorgente]

Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria
65 Tetraedro troncato aumentato Augmented truncated tetrahedron.png Tetraedro troncato aumentato 15 27 14 8 3 0 3 0 0 C3v
66 Cubo troncato aumentato Augmented truncated cube.png Cubo troncato aumentato 28 48 22 12 5 0 0 5 0 C4v
67 Cubo troncato biaumentato Biaugmented truncated cube.png Cubo troncato aumentato 32 60 30 16 10 0 0 4 0 D4h
68 Dodecaedro troncato aumentato Augmented truncated dodecahedron.png Dodecaedro troncato aumentato 65 105 42 25 5 1 0 0 11 C5v
69 Dodecaedro troncato parabiaumentato Parabiaugmented truncated dodecahedron.png Dodecaedro troncato aumentato 70 120 52 30 10 2 0 0 10 D5d
70 Dodecaedro troncato metabiaumentato Metabiaugmented truncated dodecahedron.png Dodecaedro troncato aumentato 70 120 52 30 10 2 0 0 10 C2v
71 Dodecaedro troncato triaumentato Triaugmented truncated dodecahedron.png Dodecaedro troncato aumentato 75 135 62 35 15 3 0 0 9 C3v
72 Rombicosidodecaedro girato Gyrate rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedro girato 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C5v
73 Rombicosidodecaedro parabigirato Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedro girato 60 120 62 20 30 12 0 0 0 D5d
74 Rombicosidodecaedro parabigirato Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedro girato 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C2v
75 Rombicosidodecaedro trigirato Trigyrate rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedro girato 60 120 62 20 30 12 0 0 0 C3v
76 Rombicosidodecaedro diminuito Diminished rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedro diminuito 55 105 52 15 25 11 0 0 1 C5v
77 Rombicosidodecaedro diminuito paragirato Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedro diminuito girato 55 105 52 15 25 11 0 0 1 C5v
78 Rombicosidodecaedro diminuito metagirato Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedro diminuito girato 55 105 52 15 25 11 0 0 1 Cs
79 Rombicosidodecaedro diminuito bigirato Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedro diminuito girato 55 105 52 15 25 11 0 0 1 Cs
80 Rombicosidodecaedro parabidiminuito Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedro diminuito 50 90 42 10 20 10 0 0 2 D5d
81 Rombicosidodecaedro metabidiminuito Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedro diminuito 50 90 42 10 20 10 0 0 2 C2v
82 Rombicosidodecaedro bidiminuito girato Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedro diminuito girato 50 90 42 10 20 10 0 0 2 C2v
83 Rombicosidodecaedro tridiminuito Tridiminished rhombicosidodecahedron.png Rombicosidodecaedro diminuito 45 75 32 5 15 9 0 0 3 C3v

Misti[modifica | modifica sorgente]

Jn Nome Immagine Tipo V E F F3 F4 F5 F6 F8 F10 Simmetria
84 Disfenoide camuso Snub disphenoid.png - 8 18 12 12 0 0 0 0 0 D2d
85 Antiprisma quadrato camuso Snub square antiprism.png - 16 40 26 24 2 0 0 0 0 D4d
86 Sfenocorona Sphenocorona.png - 10 22 14 12 2 0 0 0 0 C2v
87 Sfenocorona aumentata Augmented sphenocorona.png - 11 26 17 16 1 0 0 0 0 Cs
88 Sfenomegacorona Sphenomegacorona.png - 12 28 18 16 2 0 0 0 0 C2v
89 Ebesfenomegacorona Hebesphenomegacorona.png - 14 33 21 18 3 0 0 0 0 C2v
90 Disfenocingolo Disphenocingulum.png - 16 38 24 20 4 0 0 0 0 D2d
91 Bilunabirotunda Bilunabirotunda.png - 14 26 14 8 2 0 0 0 0 D2h
92 Ebesfenorotunda triangolare Triangular hebesphenorotunda.png - 18 36 20 13 3 3 1 0 0 C3v

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Norman Johnson (1966): Convex Solids with Regular Faces, Canadian Journal of Mathematics, 18, pp. 169-200. Contiene la enumerazione originale dei 92 solidi e la congettura che non ve ne siano altri.
  • Victor A. Zalgaller (1969): Convex Polyhedra with Regular Faces Consultants Bureau, New York. Traduzione dal russo: originale nei Seminari di matematica dell'istituto V.A. Steklov. Contiene la prima dimostrazione dell'esistenza di solo 92 solidi di Johnson.

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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