Incommensurabilità

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Due grandezze x ed y si dicono fra loro commensurabili se esiste fra loro un sottomultiplo comune, ossia se esistono due opportuni numeri naturali m e n per i quali:

\frac{x}{m}=\frac{y}{n}

Il valore di queste frazioni è il sottomultiplo comune alle grandezze x ed y. Di conseguenza quando due grandezze sono commensurabili è possibile esprimere la misura della prima grandezza rispetto alla seconda utilizzando un numero razionale, cioè è possibile scrivere

x={m \over n}\cdot y

Al contrario, due coppie di grandezze si dicono incommensurabili quando non hanno alcun sottomultiplo comune, ovvero non esiste alcuna frazione in grado di esprimere il rapporto {m\over n}. Da ciò consegue che la misura della prima grandezza rispetto alla seconda non è un numero razionale, perché non è esprimibile sotto forma di frazione.

Esempio di grandezze non commensurabili[modifica | modifica wikitesto]

La coppia di grandezze incommensurabili più semplice e da più tempo conosciuta è certamente quella formata dal lato di un quadrato e dalla sua diagonale. Per dimostrare che queste due grandezze sono incommensurabili, basta dimostrare che la misura di una rispetto all'altra non è un numero razionale. Prima di tutto stabiliamo qual è il valore dalla diagonale (che chiameremo d) rispetto al lato (che chiameremo l). Per farlo utilizziamo il Teorema di Pitagora.

Quadrado.PNG

Infatti dato un quadrato, sappiamo che:

d^2=l^2+l^2

da cui

d^2=2l^2

allora

d=\sqrt{2l^2}

semplificando abbiamo che

d=\sqrt{2} \cdot l

abbiamo quindi trovato la misura di d rispetto a l. Ora è necessario dimostrare che il numero \sqrt {2} non è razionale. Per farlo utilizziamo una delle varie dimostrazioni dell'irrazionalità di radice di due.

L'incommensurabilità tra lato e diagonale di un quadrato fu il primo caso nel quale l'incommensurabilità fu dimostrata. La dimostrazione, attribuita in genere a Ippaso di Metaponto, fu certamente effettuata all'interno della scuola pitagorica e causò una grave crisi delle concezioni matematiche dell'epoca.

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