Numero di Fermat

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Un numero di Fermat, chiamato così dal matematico francese Pierre de Fermat, è un numero intero esprimibile come:

F_n = 2^{2^n} + 1

con n intero non negativo.

Numeri primi di Fermat[modifica | modifica wikitesto]

Fermat credeva, erroneamente, che tutti i numeri della forma indicata sopra fossero numeri primi. In effetti, questo è vero per i primi cinque:

 F_0 = 2^{2^0} + 1 = 3
 F_1 = 2^{2^1} + 1 = 5
 F_2 = 2^{2^2} + 1 = 17
 F_3 = 2^{2^3} + 1 = 257
 F_4 = 2^{2^4} + 1 = 65 \, 537

Ma nel 1732 Eulero dimostrò che Fermat si sbagliava, dando la fattorizzazione di F5:

 F_{5} = 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4 \, 294 \, 967 \, 297 = 641 \cdot 6 \, 700 \, 417. \;

Nel 1770 dimostrò anche che ogni eventuale divisore di Fn è della forma K 2n+1 + 1,relazione che venne implementata da Lucas nel 1878 con la considerazione che tali divisori devono anche essere del tipo L 2n+2 + 1 dove K ed L sono interi positivi.

Nel caso di F5, per k = 1, 2, 3, 4, 5 troviamo rispettivamente 129, 257, 385, 513, 641; di questi, solo 257 e 641 sono primi, e 641 effettivamente divide F5.

Non è stato trovato nessun altro numero di Fermat primo, e anzi si ritiene molto probabile che i numeri di Fermat primi siano in numero finito.


A Luglio 2014, le uniche altre fattorizzazioni complete di numeri di Fermat sono le seguenti:

  • F6 = 274177 · 67280421310721 (Clausen,Landry e Le Lasseur, 1880)
  • F7 = 59649589127497217 · 5704689200685129054721 (Morrison e Brillhart, 1970)
  • F8 = 1238926361552897 · P62 (Brent e Pollard, 1980)
  • F9 = 2424833 · 7455602825647884208337395736200454918783366342657 · P99 (Western, 1903 / Lenstra,Manasse e altri, 1990)
  • F10 = 45592577 · 6487031809 · 4659775785220018543264560743076778192897 · P252 (Selfridge ,1953 / Brillhart ,1962 / Brent ,1995)
  • F11 = 319489 · 974849 · 167988556341760475137 · 3560841906445833920513 · P564 (Cunningham ,1899 / Brent e Morain ,1988)

dove Px indica un fattore primo di x cifre.[1]


Si può comunque dimostrare (in base al test di primalità noto come test di Pépin) che Fn è primo se e solo se 3^{(F_n-1)/2}\equiv-1\pmod{F_n}.


I numeri di Fermat appaiono in contesti a prima vista completamente non correlati. Ad esempio, Gauss dimostrò che si può costruire con riga e compasso un poligono regolare con n lati se e solo se n è il prodotto di una potenza di 2 per un prodotto finito di numeri di Fermat primi e distinti.

Nel luglio 2014 Raymond Ottusch ha trovato un divisore primo di F3329780. Questo numero primo possiede ben 1002367 cifre, ed è

193\cdot{2^{3329782}}+1.

Al momento della dimostrazione, F3329780 diventava quindi il più grande numero di Fermat di cui fosse conosciuto almeno un fattore primo e di conseguenza la non primalità.[2]


Il 18 luglio 2009 il GIMPS ha annunciato la scoperta di un divisore di F19 :

8962167624028624126082526703 · 222 + 1 divide F19[1]

In un sistema numerico binario, tutti i numeri di Fermat sono palindromi (3=11; 5=101; 17=10001; 65537=10000000000000001), e tutti i primi di Fermat sono quindi palindromi primi.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

F_n = (F_{n-1}-1)^2+1
F_n = F_{n-1} + 2^{2^{n-1}}F_0 \cdots F_{n-2}
F_n = F_{n-1}^2 - 2(F_{n-2}-1)^2
F_n = F_0 \cdots F_{n-1} + 2

Dall'ultima relazione si deduce il cosiddetto teorema di Goldbach: ogni coppia di numeri di Fermat è coprima, ovvero nessun numero primo divide due numeri di Fermat diversi. Infatti, se Fi e Fj (con i<j) avessero un fattore comune a>1, questo dividerebbe sia

F_0 \cdots F_{j-1}

che

F_j=F_0 \cdots F_{j-1}+2

e quindi a dividerebbe 2, ovvero a=2, il che è impossibile perché tutti i numeri di Fermat sono dispari. Quindi due numeri di Fermat sono sempre coprimi.

Da questo si può dimostrare che i numeri primi sono infiniti: poiché esistono infiniti numeri di Fermat, e ogni numero primo ne divide al più 1, devono esistere infiniti primi.

  • Nessun numero di Fermat può essere espresso come somma di due numeri primi, ad eccezione di F1=5=2+3; questo può essere dimostrato osservando che, essendo Fn sempre dispari, per essere somma di due primi dovrebbe essere primo il numero F_n-2=2^{2^n}-1, che però è sempre divisibile per 3[3].
  • Nessun numero di Fermat può essere espresso come differenza di due potenze p-esime, dove p è un primo dispari.

Note[modifica | modifica wikitesto]

4.^ Per la 4° relazione di ricorrenza riportata sopra, Fn-2 è sempre divisibile non soltanto per 3 ma per F(n-1)! e quindi per ogni Fx con x<n.

  1. ^ a b Fermat factoring status
  2. ^ The Top Twenty: Fermat Divisors
  3. ^ Per n>0, 2n è pari, e quindi F_n-2=2^{2a}-1=4^a-1 per un a intero; passando alla congruenza modulo 3 si ha 4^a-1\equiv 1^a-1\equiv 1-1\equiv 0\mod 3, e quindi Fn -2 è divisibile per 3.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]


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