Numero primo di Sophie Germain

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Un numero primo di Sophie Germain è un numero primo p tale che 2p+1 è anch'esso un numero primo. Il numero 2p+1 è invece chiamato primo sicuro. Prendono nome dalla matematica francese Sophie Germain, che all'inizio del XIX secolo li usò per dimostrare un caso particolare dell'ultimo teorema di Fermat.

Prime proprietà[modifica | modifica wikitesto]

I numeri primi di Sophie Germain minori di 104 sono:

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, 239, 251, 281, 293, 359, 419, 431, 443, 491, 509, 593, 641, 653, 659, 683, 719, 743, 761, 809, 911, 953, 1013, 1019, 1031, 1049, 1103, 1223, 1229, 1289, 1409, 1439, 1451, 1481, 1499, 1511, 1559, 1583, 1601, 1733, 1811, 1889, 1901, 1931, 1973, 2003, 2039, 2063, 2069, 2129, 2141, 2273, 2339, 2351, 2393, 2399, 2459, 2543, 2549, 2693, 2699, 2741, 2753, 2819, 2903, 2939, 2963, 2969, 3023, 3299, 3329, 3359, 3389, 3413, 3449, 3491, 3539, 3593, 3623, 3761, 3779, 3803, 3821, 3851, 3863, 3911, 4019, 4073, 4211, 4271, 4349, 4373, 4391, 4409, 4481, 4733, 4793, 4871, 4919, 4943, 5003, 5039, 5051, 5081, 5171, 5231, 5279, 5303, 5333, 5399, 5441, 5501, 5639, 5711, 5741, 5849, 5903, 6053, 6101, 6113, 6131, 6173, 6263, 6269, 6323, 6329, 6449, 6491, 6521, 6551, 6563, 6581, 6761, 6899, 6983, 7043, 7079, 7103, 7121, 7151, 7193, 7211, 7349, 7433, 7541, 7643, 7649, 7691, 7823, 7841, 7883, 7901, 8069, 8093, 8111, 8243, 8273, 8513, 8663, 8693, 8741, 8951, 8969, 9029, 9059, 9221, 9293, 9371, 9419, 9473, 9479, 9539, 9629, 9689, 9791.

A gennaio 2015, il più grande primo di Sophie Germain conosciuto è 18543637900515\cdot 2^{666668}-1, un numero di 200701 cifre decimali, scoperto nell'aprile 2012 attraverso il progetto di calcolo distribuito PrimeGrid.[1]

I numeri primi di Sophie Germain devono soddisfare diverse restrizioni modulari: ad esempio, se p è congruo ad 1 modulo 3, allora 2p+1\equiv 0\bmod 3, ovvero 2 divide 2p+1. Di conseguenza, ogni numero primo di Sophie Germain (ad eccezione di 3) sono congrui a 2 modulo 3. Partendo da un qualsiasi primo q al posto di 3, è possibile con lo stesso ragionamento eliminare una classe di resto modulo q: ad esempio, se p è congruo a 2 modulo 5 (e diverso da 2) allora non è un primo di Sophie Germain.

I primi di Sophie Germain sono collegati con i primi di Mersenne. Eulero dimostrò che, se un primo di Sophie Germain è della forma p=4k-1, allora p divide 2^p-1, che quindi non è un numero primo.

Distribuzione[modifica | modifica wikitesto]

Non è noto se vi siano infiniti numeri primi di Sophie Germain. Usando tecniche di crivello, si pulò congetturare che il numero di primi di Sopieh Germain minori di n sia asintotico a

2C_2 \frac{n}{(\ln n)^2}

dove (p varia tra i numeri primi)

C_2=\prod_{p>2} \frac{p(p-2)}{(p-1)^2}\approx 0,660161

è la costante dei numeri primi gemelli.

Relazione con l'ultimo teorema di Fermat[modifica | modifica wikitesto]

Attorno al 1825, Sophie Germain dimostrò che, se p e q sono due numeri primi tali che

  1. p non è una p-esima potenza modulo q, e
  2. se x,y,z sono numeri interi, x^p+y^p+z^p\equiv 0\bmod q implica che q divide x, y o z,

allora il "primo caso" dell'ultimo teorema di Fermat vale per p, ovvero se x^p+y^p+z^p=0, allora p divide almeno uno tra x, y e z.

In particolare, se q=2p+1, allora la prima condizione è sempre soddisfatta (purché p>3) grazie al piccolo teorema di Fermat (in quanto a^p può essere congruo solo a 1 o a -1 modulo q. Allo stesso modo, x^p, y^p e z^p sono uguali a 1 o a -1 modulo q; di conseguenza,

x^p+y^p+z^p\equiv(-1)^a+(-1)^b+(-1)^c\bmod q

(per interi a,b,c) e questo può avvenire solo se q=3. Questo argomento, inoltre, può essere usato indipendentemente dal teorema generale per dimostrare direttamente il primo caso quando p è un primo di Sophie Germain.

Varianti di questo ragionamento portarono poi Legendre a dimostrare che p verifica il primo caso dell'ultimo teorema di Fermat nel caso in cui uno tra 4p+1, 8p+1, 10p+1, 14p+1 e 16p+1 sia un numero primo.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (EN) Chris Caldwell, Sophie Germain (p) in The Prime Pages. URL consultato il 19 gennaio 2015.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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