Numero di Fermat

Un numero di Fermat, chiamato così dal matematico francese Pierre de Fermat, è un numero intero esprimibile come:

$F_n = 2^{2^n} + 1$

con n intero non negativo.

Numeri primi di Fermat

Fermat credeva, erroneamente, che tutti i numeri della forma indicata sopra fossero numeri primi. In effetti, questo è vero per i primi cinque:

$F_0 = 2^{2^0} + 1 = 3$

$F_1 = 2^{2^1} + 1 = 5$

$F_2 = 2^{2^2} + 1 = 17$

$F_3 = 2^{2^3} + 1 = 257$

$F_4 = 2^{2^4} + 1 = 65537$

Ma nel 1732 Eulero dimostrò che Fermat si sbagliava, dando la fattorizzazione di F₅:

$F_{5} = 2^{2^5} + 1 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 \cdot 6700417. \;$

Dimostrò anche che ogni eventuale divisore di F_n è della forma k 2ⁿ⁺² + 1.

Nel caso di F₅, per k = 1, 2, 3, 4, 5 troviamo rispettivamente 129, 257, 385, 513, 641; di questi, solo 257 e 641 sono primi, e 641 effettivamente divide F₅.

Non è stato trovato nessun altro numero di Fermat primo, e anzi si ritiene molto probabile che i numeri di Fermat primi siano in numero finito.

Le uniche altre fattorizzazioni complete di numeri di Fermat a Gennaio 2012 sono le seguenti:

• F₆ = 274177 · 67280421310721 (Clausen,Landry e Le Lasseur, 1880)
• F₇ = 59649589127497217 · 5704689200685129054721 (Morrison e Brillhart, 1970)
• F₈ = 1238926361552897 · P62 (Brent e Pollard, 1980)
• F₉ = 2424833 · 7455602825647884208337395736200454918783366342657 · P99 (Western, 1903 / Lenstra,Manasse e altri, 1990)
• F₁₀ = 45592577 · 6487031809 · 4659775785220018543264560743076778192897 · P252 (Selfridge ,1953 / Brillhart ,1962 / Brent ,1995)
• F₁₁ = 319489 · 974849 · 167988556341760475137 · 3560841906445833920513 · P564 (Cunningham ,1899 / Brent e Morain ,1988)

dove Px indica un fattore primo di x cifre.

Si può comunque dimostrare (in base al test di primalità noto come test di Pépin) che F_n è primo se e solo se $3^{(F_n-1)/2}\equiv-1\pmod{F_n}.$

I numeri di Fermat appaiono in contesti a prima vista completamente scorrelati. Ad esempio, Gauss dimostrò che si può costruire con riga e compasso un poligono regolare con n lati se e solo se n è il prodotto di una potenza di 2 per un prodotto finito di numeri di Fermat primi e distinti.

Nel giugno 2011 James Scott Brown ha trovato un divisore primo di F_2543548. Questo numero primo possiede ben 765687 cifre, ed è

$9\cdot{2^{2543551}}+1.$

Al momento della dimostrazione, F_2543548 diventava quindi il più grande numero di Fermat di cui fosse conosciuto almeno un fattore primo e di conseguenza la non primalità.

Il 18 luglio 2009 il GIMPS ha annunciato la scoperta di un divisore di F₁₉ :

8962167624028624126082526703 · 2²² + 1 divide F₁₉

In un sistema numerico binario, tutti i numeri di Fermat sono palindromi (3=11; 5=101; 17=10001; 65537=10000000000000001), e tutti i primi di Fermat sono quindi palindromi primi.

Proprietà

• I numeri di Fermat soddisfano le seguenti relazioni di ricorrenza valide per n≥2, che possono essere provate tramite induzione:

$F_n = (F_{n-1}-1)^2+1\,$

$F_n = F_{n-1} + 2^{2^{n-1}}F_0 \cdots F_{n-2}$

$F_n = F_{n-1}^2 - 2(F_{n-2}-1)^2$

$F_n = F_0 \cdots F_{n-1} + 2$

Dall'ultima relazione si deduce il cosiddetto teorema di Goldbach: ogni coppia di numeri di Fermat è coprima, ovvero nessun numero primo divide due numeri di Fermat diversi. Infatti, se F_i e F_j (con i<j) avessero un fattore comune a>1, questo dividerebbe sia

$F_0 \cdots F_{j-1}$

che

$F_j=F_0 \cdots F_{j-1}+2$

e quindi a dividerebbe 2, ovvero a=2, il che è impossibile perché tutti i numeri di Fermat sono dispari. Quindi due numeri di Fermat sono sempre coprimi.

Da questo si può dimostrare che i numeri primi sono infiniti: poiché esistono infiniti numeri di Fermat, e ogni numero primo ne divide al più 1, devono esistere infiniti primi.

• Nessun numero di Fermat può essere espresso come somma di due numeri primi, ad eccezione di F₁=5=2+3; questo può essere dimostrato osservando che, essendo F_n sempre dispari, per essere somma di due primi dovrebbe essere primo il numero $F_n-2=2^{2^n}-1$, che però è sempre divisibile per 3.

• Nessun numero di Fermat può essere espresso come differenza di due potenze p-esime, dove p è un primo dispari.

• La somma dei reciproci di tutti i numeri di Fermat è irrazionale. (Solomon W. Golomb, 1963)

Voci correlate

• Fermat Search - Progetto di ricerca dei divisori dei Numeri di Fermat per trovare un numero primo più grande.
• Numero primo di Mersenne
• Costruzioni con riga e compasso#Costruzione di poligoni regolari

Collegamenti esterni

• La pagina di John Cosgrave

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica