Lemma di Gauss (teoria dei numeri)

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In teoria dei numeri, il lemma di Gauss, che ha preso il nome da Carl Friedrich Gauss, è un teorema utilizzato in alcune dimostrazioni della reciprocità quadratica.

Per ogni primo dispari p, sia a un intero coprimo con p. Si considerino gli interi:

a, 2a, 3a, \dots, \frac{p-1}{2}a

e i loro residui modulo p ridotti nell'intervallo \left[-\frac{p}{2}, \frac{p}{2}\right]. Sia s il numero di questi residui che sono negativi. Allora:

\left(\frac{a}{p}\right) = (-1)^s

dove (a/p) è il simbolo di Legendre. Da un punto di vista piuttosto sofisticato, ciò rappresenta un caso di trasferimento.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Per il criterio di Eulero si sa che

\left(\frac{a}{p}\right) = a^\frac{p-1}{2} \pmod{p}

moltiplicando entrambi i membri per il fattoriale di \frac{p-1}{2}

\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{p-1}{2}\right)! = \prod_{n=1}^{\frac{p-1}{2}}an \pmod{p}

consideriamo adesso i residui di an ridotti nell'intervallo \left[-\frac{p}{2}, \frac{p}{2}\right]. Allora:

  • non ci sono due residui uguali; infatti se
ak_1=ak_2 \pmod{p}
allora p|k_1-k_2, ed essendo k_1,k_2<p, ciò e possibile solo se k_1=k_2
  • non ci sono due residui opposti; infatti se
ak_1 = -ak_2 \pmod{p}
allora p|k_1+k_2 ma essendo k_1,k_2 < \frac{p}{2} ciò è impossibile.

Di conseguenza i valori assoluti dei residui an sono tutti diversi e il loro prodotto vale

\prod_{n=1}^{\frac{p-1}{2}}an=\left(\frac{p-1}{2}\right)!\left(-1\right)^s

dove s è il numero dei residui negativi, quindi

\left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{p-1}{2}\right)! =\left(\frac{p-1}{2}\right)!\left(-1\right)^s \pmod{p}

e semplificando per il fattoriale di \frac{p-1}{2} si ottiene la tesi:

\left(\frac{a}{p}\right) =\left(-1\right)^s

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Harold Davenport, Aritmetica superiore, Bologna, Zanichelli, 1994, ISBN 88-08-09154-6.
  • Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9.
  • Trygve Nagell, Introduction to number theory, 2ª ed., New York, Chelsea, 2001, ISBN 0-8218-2833-9.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]


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