Simbolo di Legendre

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Il simbolo di Legendre è utilizzato in matematica nell'ambito della teoria dei numeri, e in particolare nei campi della fattorizzazione e dei residui quadratici. Esso prende il nome dal matematico francese Adrien-Marie Legendre.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Il simbolo di Legendre è definito come segue:

Se p è un numero primo e a è un intero, allora il simbolo di Legendre \left(\frac{a}{p}\right) è uguale a:

  • 0 se p divide a
  • 1 se a è un quadrato modulo p -- ossia esiste un intero k tale che k2a (mod p), o a è un residuo quadratico modulo p
  • −1 se a non è un quadrato modulo p, cioè a è un non-residuo quadratico modulo p

La generalizzazione del simbolo di Legendre a  \left(\frac{a}{n}\right) con n \in \mathbb{N} dispari è il simbolo di Jacobi.

Proprietà del simbolo di Legendre[modifica | modifica sorgente]

Il simbolo di Legendre possiede un certo numero di proprietà che consentono di velocizzare i calcoli. Le più importanti sono:

  1. 
\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right)\left(\frac{b}{p}\right)
(cioè è una funzione completamente moltiplicativa nel suo argomento superiore)
  2. Se ab (mod p), allora 
\left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)
  3. 
\left(\frac{1}{p}\right) = 1
  4. 
\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{\left(\frac{p-1}{2}\right)}, cioè 1 se p ≡ 1 (mod 4) e −1 se p ≡ 3 (mod 4)
  5. 
\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{\left(\frac{p^2-1}{8}\right)}, cioè 1 se p ≡ 1 o 7 (mod 8) e −1 se p ≡ 3 o 5 (mod 8)
  6. 
\left(\frac{a}{2}\right) = 1 per tutti gli a dispari e 0 per a pari
  7. Se q è un primo dispari, allora 
\left(\frac{q}{p}\right) = \left(\frac{p}{q}\right)(-1)^{\left(\frac{p-1}{2}\right)\left(\frac{q-1}{2}\right)}

L'ultima proprietà prende il nome di legge di reciprocità quadratica.

Il simbolo di Legendre è inoltre collegato al criterio di Eulero, dimostrato da Leonardo Eulero:


\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{\left(\frac{p-1}{2}\right)}\pmod p

Infine, il simbolo di Legendre è un carattere di Dirichlet, detto anche il carattere quadratico modulo p.

Funzioni correlate[modifica | modifica sorgente]

Il simbolo di Jacobi è una generalizzazione del simbolo di Legendre che ammette come argomento un numero composto al posto del primo p.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9, (Chapter 9.2)
  • H. Davenport, Aritmetica superiore, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 88-08-09154-6 - Capitolo III.3
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