Teorema di Gauss-Markov

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Il teorema di Gauss-Markov, così chiamato in onore dei matematici Carl Friedrich Gauss e Andrej Markov, è un teorema in statistica matematica che afferma che in un modello lineare in cui i disturbi hanno valore atteso nullo e sono incorrelati e omoschedastici, gli stimatori lineari corretti più efficienti sono gli stimatori ottenuti con il metodo dei minimi quadrati.

Enunciato del teorema[modifica | modifica sorgente]

In termini più formali, si consideri un modello lineare in notazione matriciale:

\ y=X\beta + \varepsilon

dove \ \textrm{E}[\varepsilon]=0 e \ \textrm{E}[\varepsilon\varepsilon']=\sigma^{2}I; essendo:

\ \hat{\beta}=(X'X)^{-1}X'y

il vettore degli stimatori dei minimi quadrati, qualunque stimatore alternativo ottenuto come combinazione lineare degli \ y:

\ b = Ly

è tale per cui:

\ \textrm{var}\left(b\right)-\textrm{var}\left(\hat{\beta}\right)=\textrm{E}\left(b-\beta\right)\left(b-\beta\right)'-\textrm{E}\left(\hat{\beta}-\beta\right)\left(\hat{\beta}-\beta\right)'

è una matrice semidefinita positiva.

Dimostrazione[modifica | modifica sorgente]

Si consideri un generico stimatore lineare \ b=Ly; si decomponga la matrice \ L come:

\ L=D+(X'X)^{-1}X'

Si impone a questo punto che \ b sia uno stimatore corretto, ossia:

\ \textrm{E}\left[b\right]=\textrm{E}\left[Dy+(X'X)^{-1}X'y\right]=\beta

Evidentemente, ciò è possibile solo se \ DX=0 (e, ovviamente, \ \textrm{E}[L\varepsilon]=\textrm{E}[D\varepsilon]=0). La matrice varianze-covarianze di \ b è data da:

\ \textrm{E}(b-\beta)(b-\beta)'=\textrm{E}(D+(X'X)^{-1}X')\varepsilon\varepsilon'(D+(X'X)^{-1}X')'=\sigma^{2}(DD'+(X'X)^{-1})

poiché la correttezza di \ b impone che \ DX=0. Nell'espressione sopra si riconosce la matrice varianze-covarianze degli stimatori dei minimi quadrati \ \textrm{var}(\hat{\beta})=\sigma^{2}(X'X)^{-1}; è immediato osservare che la matrice \ \sigma^{2}DD'=\textrm{var}(b)-\textrm{var}(\hat{\beta}) è semi-definita positiva, in quanto \ \sigma^{2}>0 e:

\ v'DD'v=(D'v)'(D'v)=||D'v||^2\ge 0\ \forall v\neq 0

così che la tesi del teorema risulta dimostrata.

Riferimenti[modifica | modifica sorgente]

  • Plackett, R.L. (1950). "Some Theorems in Least Squares". Biometrika 37 (1–2): 149–157. doi:10.1093/biomet/37.1-2.149. JSTOR 2332158. MR 36980.

Uso in fisica

  • L. Lyons, D. Gibaut, P. Clifford (1998). "How to combine correlated estimates of a single physical quantity". Nucl. Instr. and Meth. A270: 110.
  • L. Lyons, A. J. Martin, D. H. Saxon (1990). "On the determination of the b lifetime by combining the results of different experiments". Phys. Rev. D41: 982–985.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]