Leggi di Kirchhoff
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Le leggi di Kirchhoff descrivono le proprietà dei circuiti elettrici a parametri concentrati. Furono formulate da Gustav Robert Kirchhoff nel 1845 a seguito di esperimenti empirici. Nei circuiti a parametri concentrati sostituiscono completamente le leggi dell'elettromagnetismo permettendo di ridurle a pure relazioni topologiche.
Indice |
[modifica] Prima legge
La legge di Kirchhoff delle correnti (LKC o LKI) afferma che, definita una superficie chiusa che attraversi un circuito elettrico in regime stazionario, la somma algebrica delle correnti che attraversano la superficie (con segno diverso se entranti o uscenti) è nulla. In ogni istante di tempo si ha quindi:
-
∑ ik(t) = 0 σ
dove σ è la superficie che racchiude parte del circuito e ik(t) il valore della k − esima corrente (che attraversa σ) all'istante t.
In una formulazione semplificata, e definendo una superficie che racchiuda un singolo nodo del circuito, si può dire che in esso la somma delle correnti entranti è uguale alla somma delle correnti uscenti (per la definizione di nodo vedi la figura più sotto).
Indicando con Ie le correnti entranti e con Iu le correnti uscenti, in formula si scrive:
Ad esempio, prendiamo un nodo a cui giungono quattro rami del circuito e chiamiamo le correnti i1, i2, i3 ed i4. Decido che da un solo ramo uscirà corrente (i4), quindi la formula sarà:
- i1 + i2 - i3 = i4
che trasformata nella forma canonica
- i1 + i2 - i3 - i4 = 0
In questo caso essendoci un'unica uscita, i4 sarà la somma di tutte le altre correnti. La somma algebrica totale sarà quindi nulla. Se risolvendo il circuito otteniamo un valore negativo di corrente questo significa che il verso effettivo con cui la carica percorre il ramo è l'opposto di quello ipotizzato all'inizio.
Se il circuito è in corrente continua la somma va intesa come somma algebrica. Se il circuito è in regime sinusoidale (vedi anche corrente alternata) la somma può essere fatta anche sui fasori corrispondenti alle correnti (quindi come somma vettoriale).
La prima legge semplicemente riflette il fatto che la carica non può essere dispersa. Se vengono indicati tutti i possibili tragitti lungo i quali il trasferimento della carica è possibile, e se si è certi che una emissione effettiva di elettroni o effetti collaterali non esistono, allora la carica netta spostata verso un nodo, deve uguagliare quella che vi si allontana. Conseguentemente, la velocità totale con cui la carica entra in un nodo, ovvero la corrente in entrata, deve uguagliare la velocità totale della carica che lo lascia, ovvero la corrente in uscita.
[modifica] Seconda legge
Ramo (o arco o lato): singolo percorso circuitale (tra due nodi)
Nodo: punto in cui convergono almeno due rami
Maglia: insieme di due o più rami che formano un cammino chiuso
(vedi Teoria dei grafi)
Nella formulazione più semplice la legge di Kirchhoff delle tensioni (LKT o LKV) afferma che, in un circuito a parametri concentrati planare, è definito il concetto di potenziale elettrico (vedi anche differenza di potenziale o d.d.p.). Equivalentemente, la somma algebrica delle tensioni lungo una linea chiusa (con il segno appropriato in funzione del verso di percorrenza della maglia stessa) è pari a zero.
Se le grandezze elettriche del circuito sono rappresentate nel dominio del tempo (per esempio se è in corrente continua) la somma va intesa come somma algebrica. Se il circuito è in corrente alternata e le grandezze elettriche sono rappresentate da fasori la somma può essere fatta anche sui fasori corrispondenti alle tensioni (quindi come somma vettoriale.)
Indicando con Vi le tensioni, in formula si può scrivere:
.
Una maglia (vedi figura) è un percorso chiuso di una rete elettrica che partendo da un nodo torna allo stesso senza attraversare uno stesso ramo due volte, non è necessario che tra due nodi successivi di una maglia ci sia un componente "effettivo" (anche perché si può sempre immaginare la presenza di un componente circuito aperto).
Questa legge corrisponde alla legge di conservazione dell'energia per un campo conservativo, in quanto afferma che il lavoro compiuto per far compiere ad una carica un percorso chiuso deve essere uguale a zero.
[modifica] Elettronica
Le leggi di Kirchhoff delle correnti e delle differenze di potenziale si applicano ai circuiti elettronici a parametri concentrati, cioè circuiti che non irradiano, dove l'energia si può considerare concentrata nei componenti del circuito. Sotto queste ipotesi le leggi di Kirchhoff sono un'approssimazione delle leggi dell'elettromagnetismo di Maxwell, che non implicano nessuna ipotesi sulla natura dei componenti del circuito. Le due leggi Kirchhoff contengono un bilancio di correnti o differenze di potenziali (e quindi di energia) sul circuito elettrico; tale bilancio risulta particolarmente importante nell'analisi dei circuiti elettrici come strumento base, permettendo di scrivere relazioni (equazioni) delle maglie e dei nodi. Inoltre, nell'analisi dei transitori elettrici (ossia delle condizioni non stazionarie del circuito), la violazione delle equazioni di Kirchhoff indica la presenza di fenomeni impulsivi (utilizzare, in tal caso, gli operazionali (Laplace) e i principi di Kirchhoff risulteranno ancora validi).
