Metodo delle maglie

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Si definisce Metodo delle maglie o più propriamente Metodo delle correnti di anello oppure Metodo delle correnti fittizie il procedimento risolutivo per circuiti di bipoli, sia in regime stazionario che sinusoidale, per determinare tutte le correnti di maglia, e di lato poi.

Avendo a mente la seconda delle Leggi di Kirchhoff scomponiamo il circuito in maglie ed assegniamo ad ognuna una corrente arbitraria fissando un riferimento comune, in quanto è opportuno che tutte le correnti abbiano lo stesso verso.

In tal modo possiamo determinare le correnti di lato per differenza delle due correnti di maglia che hanno il lato in comune.

Primo caso[modifica | modifica sorgente]

Si considera adesso le reti lineari in regime stazionario in cui siano presenti solo generatori di tensione.

Ricordando la LKT:

\sum_{maglia} \pm u(t)=0

questa può essere riscritta considerando le tensioni dei resistori come  U_h = R_hI_h e le tensioni dei generatori di tensione come  U_h = E_h ottenendo così:

\sum_{maglia} R_hI_h =\sum_{maglia} E_h

esprimendo le correnti di lato come differenza delle correnti di maglia R_hI_h=R_h(I_{m_i}-I_{m_j}), scrivendo questa equazione per ogni maglia del circuito otteniamo un sistema di m equazioni con m incognite pari alle maglie del sistema:

\begin{cases}
    \sum R_{m_1} I_{m_1}-\sum_{r=2}^m R_{1_r}I_{1_r} = \sum E_{m_1} \\
    \sum R_{m_2} I_{m_2}-\sum_{r=1,r\ne2}^m R_{2_r}I_{2_r} = \sum E_{m_2} \\
    ................ \\
    \sum R_{m_m} I_{m_m}-\sum_{r=1}^{m-1} R_{m_r}I_{m_r} = \sum E_{m_m} \\
\end{cases}

dove:

  •  I_{m_1},...I_{m_m} sono le correnti di maglia
  •  \sum R_{m_1},... \sum R_{m_m} è la somma di tutte le resistenze presenti nella maglia e quindi percorse dalla corrente di maglia
  •  R_{1_r},...R_{m_r} sono le resistenze in comune tra la maglia considerata e quelle contigue percorse dalle relative correnti
  •  \sum E_{m_1},... \sum E_{m_m} è la somma algebrica dei contributi dei generatori presenti nella maglia.

Il sistema costituisce il metodo delle maglie: una volta risolto il sistema abbiamo le correnti di maglia dalle quali possiamo prima ricavare le correnti di lato e poi le tensioni mediante le equazioni di bipolo.

Esempio primo caso[modifica | modifica sorgente]

Circuito nodi e maglie.jpg

scriviamo il sistema di 3 equazioni in tre incognite:

\left\{\begin{matrix}
(R_1+R_6+R_7+R_8)I_{m_A} & -R_6 I_{m_B} & -R_7I_{m_C} &  = & \Delta V \\ 
-R_6I_{m_A} & +(R_6+R_2+R_4) I_{m_B} & -R_4I_{m_C} &  = & 0 \\ 
-R_7I_{m_A} & -R_4 I_{m_B} & +(R_7+R_3+R_4)I_{m_C} &  = & 0 
\end{matrix}\right.

in forma matriciale

\begin{bmatrix}
(R_1+R_6+R_7+R_8) & -R_6  & -R_7 \\ 
-R_6 & (R_6+R_2+R_4)  & -R_4  \\ 
-R_7 & -R_4  & (R_7+R_3+R_4)  
\end{bmatrix}.
\begin{bmatrix}
I_{m_A} \\ I_{m_B} \\ I_{m_C}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\Delta V \\ 0 \\ 0
\end{bmatrix}

Da cui si calcola il vettore delle correnti di maglia; volendo sapere la corrente di lato tra il nodo 2 e nodo 3:

 I_{l_{23}}=I_{m_B}-I_{m_C}

e se volessimo la tensione ai capi:

 U_{23} = I_{l_{23}}R_4

Caso generale[modifica | modifica sorgente]

Si considerano, adesso, le reti lineari in regime stazionario in cui siano presenti sia generatori di tensione che generatori di corrente.

I generatori di correnti possono essere reali o ideali:

  • nel primo caso si presenta un generatore reale con in parallelo un resistore, quindi considerando i due bipoli insieme si possono trasformare in un generatore di tensione equivalente  E_{eq}= JR con in serie lo stesso resistore ritornando al caso noto.
  • nel caso di un generatore ideale di corrente si trasforma sempre in un generatore equivalente di tensione ma questa risulterà incognita, così da costituire una nuova incognita del sistema che per essere risolto avrà bisogno di un ulteriore equazione; questa è costituita dall'equazione delle correnti del generatore che può essere scritta:
\sum I_{m_i} = J

così il nostro sistema diverrà:

\begin{cases}
    \sum R_{m_1} I_{m_1}-\sum_{r=2}^m R_{1_r}I_{1_r} = \sum E_{m_1} + \sum \Delta U_{m_1}\\
    \sum R_{m_2} I_{m_2}-\sum_{r=1,r\ne2}^m R_{2_r}I_{2_r} = \sum E_{m_2} + \sum \Delta U_{m_1} \\
    ................ \\
    \sum R_{m_m} I_{m_m}-\sum_{r=1}^{m-1} R_{m_r}I_{m_r} = \sum E_{m_m} + \sum \Delta U_{m_1} \\
    \sum I_{m_1} = J_a\\
    ......\\
    \sum I_{m_m} = J_z
\end{cases}

ottenendo così ancora un sistema  (m+n)\times(m+n) risolvibile, con m(maglie)+n(generatori di corrente ideali) equazioni e m+n incognite: ancora una volta risolto il sistema abbiamo le correnti di maglia dalle quali le correnti di lato e poi le tensioni mediante le equazioni di bipolo.

Esempio caso generale[modifica | modifica sorgente]

Circuito maglie1.png

Considerando il circuito sopra indicato abbiamo 4 maglie e 2 generatori di corrente, quindi otterremo un sistema 6x6:

\left\{\begin{matrix}
(R_1+R_4)I_{m_1} & -R_4 I_{m_2} &  &  & = & E_1 \\ 
-R_4I_{m_1} & +(R_3+R_4)I_{m_2} & -R_3I_{m_3} &  & = & E_2 \\ 
 & -R_3 I_{m_2} & +(R_2+R_3)I_{m_3} & -R_2I_{m_4} & = & \Delta U_1 \\
 & & -(R_2)I_{m_3} &  +R_2I_{m_4} &= & \Delta U_2 \\
I_{m_3}=J_1\\
I_{m_4}=-J_2 
\end{matrix}\right.

avendo numerato le correnti di maglia da destra verso sinistra e indicato con \Delta U_1 \, , \Delta U_2 le tensione ai capi dei generatori ideali di corrente.

Per rendere il sistema più semplice possiamo sostituire il generatore J_2 in parallelo con R_2 con un generatore di tensione equivalente  E_{2J} = R_2J_2 :

manca il pedice J al generatore di tensione equivalente

così il sistema sarà un 4x4:

\left\{\begin{matrix}
(R_1+R_4)I_{m_1} & -R_4 I_{m_2} &  &   = & E_1 \\ 
-R_4I_{m_1} & +(R_3+R_4)I_{m_2} & -R_3I_{m_3} &   = & E_2 \\ 
 & -R_3 I_{m_2} & +(R_2+R_3)I_{m_3} &  = & \Delta U_1 + E_{2J}\\
I_{m_3}=J_1
\end{matrix}\right.

che risolvendo e scritto in forma matriciale:

\begin{bmatrix}
(R_1+R_4) & -R_4  &  & \\ 
-R_4 & (R_3+R_4) &  \\ 
 & -R_3 & -1 &  
\end{bmatrix}
.
\begin{bmatrix}
I_{m_1} \\ I_{m_2} \\ \Delta U_1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
E_1 \\ E_2+R_3J_1 \\ -(R_2+R_3)J_1
\end{bmatrix}

Un altro modo di procedere per semplificare il circuito e abbassare il rango del sistema è introdurre una semplificazione topologica del circuito. In particolare possiamo considerare il lato l_{12} con il generatore di corrente ideale e staccarlo una estremità per volta per connetterlo alternativamente al nodo 3 ottenendo così il seguente circuito:

Circuito maglie3.png

dove notiamo che il nostro sistema si è scomposto in 2 circuiti connessi in un solo punto (nodo 3).

Per risolvere questo circuito, una volta sostituito il parallelo del generatore  J_1 e la resistenza R_3 con un generatore reale di tensione E_{1J}=R_3J_1, otteniamo un sistema con 3 equazioni di cui una indipendente:

  • sistema 2x2 per descrivere il circuito di destra:
\left\{\begin{matrix}
(R_1+R_4)I_{m_1} & -R_4 I_{m_2}  &   = & E_1 \\ 
-R_4I_{m_1} & +(R_3+R_4)I_{m_2}  &   = & E_2 + E_{1J}
\end{matrix}\right.
  • mentre il circuito di sinistra è a corrente imposta presentato il parallelo di due generatori di corrente che andranno semplicemente sommati considerando i segni.

È da notare che mediante il metodo dei nodi la soluzione dell'esercizio è ancora più semplice dovendo imporre solo un'equazione che permette di conoscere la tensione ai nodi 2 e 4 tramite il Teorema di Millman.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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