Metodo dei nodi

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Si definisce Metodo dei nodi o più propriamente Metodo dei potenziali ai nodi il procedimento risolutivo per circuiti di bipoli, sia in regime stazionario che sinusoidale, per determinare tutti i potenziali ai nodi del circuito, si può applicare solo a reti con generatori di corrente e componenti ad ammettenza, quindi non ad esempio a reti con generatori di tensione ideali, per questi è però possibile utilizzare il metodo dei potenziali ai nodi modificato.

Il vantaggio principale del metodo ai potenziali ai nodi è che per una rete con N nodi e L lati richiede la soluzione di solo N - 1 equazioni contro le L + (N - 1) equazioni ai nodi e alle maglie ottenute applicando direttamente le leggi di Kirchhoff.

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Metodo dei potenziali ai nodi.png

La rete in figura è composta da bipoli lineari, due generatori di corrente e cinque resistori, è quindi possibile applicare il metodo dei potenziali ai nodi. Si sceglie un nodo arbitrariamente (nel disegno il nodo in basso) e lo si mette a terra, ora V_1,V_2,V_3 sono le tensioni tra il nodo di terra e i nodi 1 2 3.

È possibile scrivere ogni corrente incognita della rete in funzione di V_1,V_2,V_3, I_i è la corrente passante per R_i e G_i=\frac{1}{R_i} è la conduttanza della resistenza i

I_1 = \frac{V_1 - V_3}{R_1} = G_1(V_1 - V_3)

I_2 = \frac{V_1 - V_2}{R_2} = G_2(V_1 - V_2)

I_3 = \frac{V_2 - V_3}{R_3} = G_3(V_2 - V_3)

I_4 = \frac{V_2}{R_4} = G_4V_2

applicando la Legge di Kirchhoff ai nodi sappiamo che

\left\{\begin{matrix}
+J_1 & -I_1 &  -I_2 & = &  0 \\
+I_2 & -I_3 &  -I_4 & = &  0 \\
+J_2 & +I_1 &  +I_3 & = &  0 \\
\end{matrix}\right.

che combinato con le relazioni trovate prima per le correnti incognite

\left\{\begin{matrix}
J_1 & -G_1(V_1 - V_3) &  -G_2(V_1 - V_2) & = &  0 \\
G_2(V_1 - V_2) & -G_3(V_2 - V_3) &  -G_4V_2 & = &  0 \\
J_2 & G_1(V_1 - V_3) &  G_3(V_2 - V_3) & = &  0 \\
\end{matrix}\right.

riordinando il sistema per V_1,V_2,V_3

\left\{\begin{matrix}
(-G_1-G_2)V_1 & +G_2V_2 & +G_1V_3 & = & -J_1 \\
(G_2)V_1 & (-G_2-G_3-G_4)V_2 & +G_3V_3 & = & 0 \\
G_1V_1 & +G_3V_2 & (-G_1 - G_3)V_3 & = & -J_2 \\
\end{matrix}\right.

queste sono tre equazioni linearmente indipendenti di tre variabili non resta che risolvere il sistema e trovare le tensioni ai nodi da cui si ricavano tutte le correnti incognite. In regime sinusoidale il metodo è analogo utilizza il calcolo simbolico e le ammettenze invece delle conduttanze.

Caso generale[modifica | modifica wikitesto]

La rete ha n nodi, siano V_1, V_2 ... V_{n-1} le tensioni ai nodi il metodo dei potenziali ai nodi consiste nel risolvere il sistema in forma matriciale


\begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,(n-1)} \\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,(n-1)} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{(n-1),1} & a_{(n-1),2} & \cdots & a_{(n-1),(n-1)} \end{bmatrix} 

\begin{bmatrix}
V_1 \\
V_2 \\
\vdots \\
V_{n-1}
\end{bmatrix} 
=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}

dove

a_{i,i} =  \sum conduttanze che convergono al nodo i

i \neq j, a_{i,j} = - \sum conduttanze tra il nodo i e il nodo j

b_i = - \sum correnti generatori di corrente che convergono al nodo i

Metodo dei potenziali ai nodi modificato[modifica | modifica wikitesto]

Esiste un'estensione al metodo dei potenziali ai nodi che permette di risolvere circuiti con generatori ideali di tensione, tale metodo però richiede la soluzione di un sistema di (N-1) + E equazioni dove E è il numero di generatori ideali di tensione per cui è vantaggioso fintanto che E < L , [visto che le EKT sono L+(N-1) e le equazioni dei potenziali di nodo sono (N-1)]

Esempio[modifica | modifica wikitesto]

Network1.png

Per prima cosa è conveniente sostituire tutti i generatori di tensione reali (cioè in serie con una resistenza) con i rispettivi generatori equivalenti di Norton, nel nostro caso il nuovo generatore J_2 = \frac{E_1}{R_3}

Network2.png

ora si scrivono tutte le equazioni ai nodi in funzione delle tensioni V_1,V_2,V_3 e della corrente incognita I_{E_2} che attraversa il generatore E_2. A queste equazioni va aggiunta l'equazione che lega la tensione generata da E_2 con i potenziali ai suoi capi.

\left\{\begin{matrix}
J_1 & -G_4 (V_1 - V_2) & - G_5(V_1 - V_3) & = & 0 \\
G_4(V_1-V_2) & -G_2V_2 & -I_{E_2} & = & 0 \\
G_5(V_1 - V_3) & +I_{E_2} & -J_2 & -G_3V_3 & = & 0 \\
V_3 & -V_2 & = & E_2 \\
\end{matrix}\right.

riordinando per V_1,V_2,V_3,I_{E_2} e scrivendo in forma matriciale


\begin{bmatrix}
-G_4-G_5 & G_4 & G_5 & 0\\
G_4 & -G_2-G_4 & 0 & -1 \\
G_5 & 0 & -G_3-G_5 & 1 \\
0 & -1 & 1 & 0
\end{bmatrix} 

\begin{bmatrix}
V_1 \\
V_2 \\
V_3 \\
I_{E_2}
\end{bmatrix} 
=
\begin{bmatrix}
-J_1 \\
0 \\
J_2 \\
E_2
\end{bmatrix}

e non resta che risolvere il sistema.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]


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