Metodo dei nodi

Si definisce Metodo dei nodi o più propriamente Metodo dei potenziali ai nodi il procedimento risolutivo per circuiti di bipoli, sia in regime stazionario che sinusoidale, per determinare tutti i potenziali ai nodi del circuito, si può applicare solo a reti con generatori di corrente e componenti ad ammettenza, quindi non ad esempio a reti con generatori di tensione ideali, per questi è però possibile utilizzare il metodo dei potenziali ai nodi modificato.

Il vantaggio principale del metodo ai potenziali ai nodi è che per una rete con N nodi e L lati richiede la soluzione di solo N - 1 equazioni contro le L - (N - 1) equazioni ai nodi e alle maglie ottenute applicando direttamente le leggi di Kirchhoff.

Esempio

La rete in figura è composta da bipoli lineari, due generatori di corrente e cinque resistori, è quindi possibile applicare il metodo dei potenziali ai nodi. Si sceglie un nodo arbitrariamente (nel disegno il nodo in basso) e lo si mette a terra, ora $V_1,V_2,V_3$ sono le tensioni tra il nodo di terra e i nodi 1 2 3.

È possibile scrivere ogni corrente incognita della rete in funzione di $V_1,V_2,V_3$, $I_i$ è la corrente passante per $R_i$ e $G_i=\frac{1}{R_i}$ è la conduttanza della resistenza $i$

$I_1 = \frac{V_1 - V_3}{R_1} = G_1(V_1 - V_3)$

$I_2 = \frac{V_1 - V_2}{R_2} = G_2(V_1 - V_2)$

$I_3 = \frac{V_2 - V_3}{R_3} = G_3(V_2 - V_3)$

$I_4 = \frac{V_2}{R_4} = G_4V_2$

applicando la Legge di Kirchhoff ai nodi sappiamo che

$\left\{\begin{matrix} +J_1 & -I_1 & -I_2 & = & 0 \\ +I_2 & -I_3 & -I_4 & = & 0 \\ +J_2 & +I_1 & +I_3 & = & 0 \\ \end{matrix}\right.$

che combinato con le relazioni trovate prima per le correnti incognite

$\left\{\begin{matrix} J_1 & -G_1(V_1 - V_3) & -G_2(V_1 - V_2) & = & 0 \\ G_2(V_1 - V_2) & -G_3(V_2 - V_3) & -G_4V_2 & = & 0 \\ J_2 & G_1(V_1 - V_3) & G_3(V_2 - V_3) & = & 0 \\ \end{matrix}\right.$

riordinando il sistema per $V_1,V_2,V_3$

$\left\{\begin{matrix} (-G_1-G_2)V_1 & +G_2V_2 & +G_1V_3 & = & -J_1 \\ (G_2)V_1 & (-G_2-G_3-G_4)V_2 & +G_3V_3 & = & 0 \\ G_1V_1 & +G_3V_2 & (-G_1 - G_3)V_3 & = & -J_2 \\ \end{matrix}\right.$

queste sono tre equazioni linearmente indipendenti di tre variabili non resta che risolvere il sistema e trovare le tensioni ai nodi da cui si ricavano tutte le correnti incognite. In regime sinusoidale il metodo è analogo utilizza il calcolo simbolico e le ammettenze invece delle conduttanze.

Caso generale

La rete ha n nodi, siano $V_1, V_2 ... V_{n-1}$ le tensioni ai nodi il metodo dei potenziali ai nodi consiste nel risolvere il sistema in forma matriciale

$\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,(n-1)} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,(n-1)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{(n-1),1} & a_{(n-1),2} & \cdots & a_{(n-1),(n-1)} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \\ \vdots \\ V_{n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}$

dove

$a_{i,i} = - \sum$ conduttanze che convergono al nodo $i$

$i \neq j, a_{i,j} = \sum$ conduttanze tra il nodo $i$ e il nodo $j$

$b_i = - \sum$ correnti generatori di corrente che convergono al nodo $i$

Metodo dei potenziali ai nodi modificato

Esiste un'estensione al metodo dei potenziali ai nodi che permette di risolvere circuiti con generatori ideali di tensione, tale metodo però richiede la soluzione di un sistema di $(N-1) + E$ equazioni dove $E$ è il numero di generatori ideali di tensione per cui è vantaggioso fintanto che $E < L - (N + 1)$, in caso contrario corrisponde a risolvere tutte le equazioni di Kirchhoff ai nodi e alle maglie della rete.

Esempio

Per prima cosa è conveniente sostituire tutti i generatori di tensione reali (cioè in serie con una resistenza) con i rispettivi generatori equivalenti di Norton, nel nostro caso il nuovo generatore $J_2 = \frac{E_1}{R_3}$

ora si scrivono tutte le equazioni ai nodi in funzione delle tensioni $V_1,V_2,V_3$ e della corrente incognita $I_{E_2}$ che attraversa il generatore $E_2$. A queste equazioni va aggiunta l'equazione che lega la tensione generata da $E_2$ con i potenziali ai suoi capi.

$\left\{\begin{matrix} J_1 & -G_4 (V_1 - V_2) & - G_5(V_1 - V_3) & = & 0 \\ G_4(V_1-V_2) & -G_2V_2 & -I_{E_2} & = & 0 \\ G_5(V_1 - V_3) & +I_{E_2} & -J_2 & -G_3V_3 & = & 0 \\ V_3 & -V_2 & = & E_2 \\ \end{matrix}\right.$

riordinando per $V_1,V_2,V_3,I_{E_2}$ e scrivendo in forma matriciale

$\begin{bmatrix} -G_4-G_5 & G_4 & G_5 & 0\\ G_4 & -G_2-G_4 & 0 & -1 \\ G_5 & 0 & -G_3-G_5 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \\ V_3 \\ I_{E_2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -J_1 \\ 0 \\ J_2 \\ E_2 \end{bmatrix}$

e non resta che risolvere il sistema.

Voci correlate

• Metodo delle maglie

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