Teorema di Millman

Circuito binodale

Il teorema di Millman (dal nome del suo ideatore Jacob Millman) si applica alle reti elettriche — in corrente continua o alternata — binodali, ovvero costituite da n rami tutti derivati da due nodi. La sua formulazione deriva da un caso particolare del metodo di risoluzione di reti elettriche conosciuto come potenziale ai nodi.

Esso afferma che

«la tensione ai capi del bipolo della rete è data dal rapporto tra la somma algebrica delle correnti di corto circuito dei singoli rami e la somma delle conduttanze sempre di ogni ramo».

Nel circuito binodale in figura, considerando i generatori sotto forma di generatori di corrente, si ha una sola equazione di potenziale ai nodi:

$V_{AB}(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}+ ... + \frac{1}{R_n}) = Ic_1 + Ic_2 + ... + Ic_n$ (formula 1).

con Ic1, Ic2, Icn correnti dei generatori nei vari rami. Vb, come potenziale di riferimento, ha valore zero: $Vab = Va - Vb = Va$. La (formula 1) può essere riscritta come:

$V_{AB} = \frac{Ic_1 + Ic_2 + ... + Ic_n}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}+ ... + \frac{1}{R_n}}$

la quale è la formula che permette di calcolare direttamente la tensione ai capi AB della rete e l'espressione analitica del teorema di Millmann.

Le correnti Ic1, Ic2, Icn possono essere riscritte come qui sotto, nel caso che i generatori in questione siano generatori di tensione:

$V_{AB} = \frac{\frac{E_1}{R_1} + \frac{E_2}{R_2} + ... + \frac{E_n}{R_n}}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}+ ... + \frac{1}{R_n}}$

In quest'ultima espressione si capisce perché nell'enunciato del teorema si afferma somma algebrica delle correnti di corto circuito dei singoli rami : infatti l'espressione al numeratore della formula qui sopra definisce le correnti nei vari rami se ciascuno di essi fosse cortocircuitato (vale a dire se fossero collegati in cortocircuito i nodi A e B).

Figura 1

Siano e_k i generatori di tensione e a_m i generatori di corrente.

Siano R_i le resistenze sui rami senza generatori.

Siano R_k le resistenze sui rami con i generatori di tensione.

Siano R_m le resistenze sui rami con i generatori di corrente.

Il teorema di Millman afferma che la tensione ai terminali del circuito è data da:

$v=\frac{\sum_{}\frac{\pm e_{k}}{R_{k}}+\sum_{}\pm a_{m}}{\sum_{}\frac{1}{R_{k}}+\sum_{}\frac{1}{R_{i}}}$

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