Teorema di Millman

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Il teorema di Millman (dal nome del suo ideatore Jacob Millman) si applica alle reti elettriche — in corrente continua o alternata — binodali, ovvero costituite da n rami tutti derivati da due nodi. La sua formulazione deriva da un caso particolare del metodo di risoluzione di reti elettriche conosciuto come potenziale ai nodi.

Esso afferma che

«la tensione ai capi del bipolo della rete è data dal rapporto tra la somma algebrica delle correnti di corto circuito dei singoli rami e la somma delle conduttanze di ogni ramo».

In formule:

 V = \frac{\sum\limits_k \, i_{c.c.,k}}{\sum\limits_k \, G_k}

dove le sommatorie sono estese a tutti i rami.

Circuito binodale

Nel circuito binodale in figura, considerando i generatori sotto forma di generatori di corrente, si ha una sola equazione di potenziale ai nodi:

V_{AB} \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}+ \cdots + \frac{1}{R_n} \right) = Ic_1 + Ic_2 + \cdots + Ic_n (formula 1).

dove Ici è la corrente che scorre nel ramo i-esimo. Vb, come potenziale di riferimento, ha valore zero: Vab = Va - Vb = Va. La (formula 1) può essere riscritta come:

V_{AB} = \frac{Ic_1 + Ic_2 + \cdots + Ic_n}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}+ \cdots + \frac{1}{R_n}}

la quale è la formula che permette di calcolare direttamente la tensione ai capi AB della rete e l'espressione analitica del teorema di Millmann.

Le correnti Ic1, Ic2, Icn possono essere riscritte come qui sotto, nel caso che i generatori in questione siano generatori di tensione:

V_{AB} = \frac{\frac{E_1}{R_1} + \frac{E_2}{R_2} + \cdots + \frac{E_n}{R_n}}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}+ \cdots + \frac{1}{R_n}}

In quest'ultima espressione si capisce perché nell'enunciato del teorema si afferma somma algebrica delle correnti di corto circuito dei singoli rami : infatti l'espressione al numeratore della formula qui sopra definisce le correnti nei vari rami se ciascuno di essi fosse cortocircuitato (vale a dire se fossero collegati in cortocircuito i nodi A e B).

Formulazione alternativa[modifica | modifica sorgente]

Schema per la formulazione alternativa del teorema di Millman

Siano ek i generatori di tensione e am i generatori di corrente.

Siano Ri le resistenze sui rami senza generatori.

Siano Rk le resistenze sui rami con i generatori di tensione.

Siano Rm le resistenze sui rami con i generatori di corrente.

Il teorema di Millman afferma che la tensione ai terminali del circuito è data da:

v=\frac{\sum_{}\frac{\pm e_{k}}{R_{k}}+\sum_{}\pm a_{m}}{\sum_{}\frac{1}{R_{k}}+\sum_{}\frac{1}{R_{i}}}

Componenti che non influenzano il teorema di Millman[modifica | modifica sorgente]

Resistenze che si possono trascurare quando si applica il teorema di Millman

Si può comunque applicare il teorema di Millman anche quando ci sono componenti in più che però non influenzano la corrente entrante nei nodi su cui si sta applicando il teorema. I casi sono:

  • impedenza in parallelo ad un generatore di tensione;
  • impedenza che unisce due rami contenenti entrambi un generatore di tensione;
  • impedenza in serie ad un generatore di corrente.