Teorema di Thévenin

Il teorema di Thévenin per le reti elettriche afferma che qualunque circuito lineare, comunque complesso, visto da due punti, è equivalente a un generatore reale di tensione, cioè un generatore ideale di tensione in serie con un resistore. L'equivalenza vale per quello che accade all'esterno della rete e non certo per quello che succede all'interno di essa.

Il teorema fu formulato per primo dallo scienziato tedesco Hermann von Helmholtz (1821-1894) nel 1853, ma fu riscoperto poi nel 1883 dall'ingegnere francese Léon Charles Thévenin (1857-1926).

Enunciato

generatore di tensione equivalente

Una rete lineare complessa resa bipolare si comporta come un generatore reale di tensione la cui f.e.m. $E_{eq}$ è pari alla tensione a vuoto $U_0$ della rete alla porta AB e la cui resistenza $R_{eq}$ è pari alla resistenza interna $R_i$ alla stessa porta AB, ovvero al rapporto tra tensione a vuoto $U_0$ e corrente di corto circuito $I_{cc}$ alla porta AB:

• $E_{eq}= U_0$
• $R_{eq}= R_i = {U_0 \over I_{cc}}$

con Resistenza interna $R_i$ si intende la resistenza risultante tra i nodi AB quando la rete è resa passiva, cioè quando vengono annullati (spenti) tutti i generatori indipendenti, sostituendo con corto circuiti i generatori di tensione e con circuiti aperti quelli di corrente indipendenti.

Teorema di Thévenin simbolico

Afferma che una rete simbolica tra i nodi A e B è equivalente a un generatore normale di tensione la cui f.e.m. simbolica $\bar{ E_{eq}}$ è pari al fasore di tensione a vuoto $\bar{U_0}$ e la cui impedenza $\dot{ Z_{eq}}$ è pari all'impedenza interna $\dot{ Z_{i}}$ della rete alla porta AB, ovvero al rapporto tra tensione $\bar{U_0}$ e corrente di cortocircuito $\bar{I_{cc}}$ alla porta AB:

• $\bar{E_{eq}}= \bar{U_0}$
• $\dot{Z}_{eq}= \dot{Z}_i = { \bar{U_0} \over \bar{I_{cc}}}$

con Impedenza interna $\dot{Z}_i$ si intende l'impedenza risultante tra i morsetti A e B quando la rete è resa passiva, essendo stati azzerati tra i morsetti i suoi generatori ideali simbolici di tensione di corrente (sono posti uguali a zero tutti i fasori delle tensioni impresse e delle correnti impresse).

Non sempre applicabile

Esempio applicativo

Il circuito originale

Calcolo della tensione d'uscita a vuoto

Calcolo della resistenza equivalente

Il circuito equivalente

La tensione equivalente di Thévenin è la tensione presente ai terminali di uscita del circuito originale.

Quando si calcola la tensione equivalente di Thévenin, il principio del partitore di tensione è spesso utile, definendo un terminale come V_out e l'altro terminale come punto di terra.
Nell'esempio:

$V_\mathrm{1}=R \cdot I\,\!$

$i=V_\mathrm{1}/(R_2+R_3+R_4)=3{,}75\,mA\,\!$

$V_\mathrm{AB} = {R_2 + R_3 \over (R_2 + R_3) + R_4} \cdot V_\mathrm{1} =$

$= {1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega \over (1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega) + 2\,\mathrm{k}\Omega} \cdot 15\,\mathrm{V} =$

$= {1 \over 2} \cdot 15\,\mathrm{V} = 7{,}5\,\mathrm{V}= V_\mathrm{2}$

La resistenza equivalente di Thévenin è la resistenza misurata tra i punti A e B "guardando indietro" dentro il circuito. È importante rendere passiva la rete guardando indietro, cioè sostituire per prima cosa tutti i generatori di tensione e corrente con la loro resistenza interna. Per un generatore di tensione ideale questo significa sostituirlo con un corto circuito. Per un generatore di corrente ideale questo significa sostituirlo con un circuito aperto. La resistenza può poi essere calcolata tra i terminali usando le formule per i circuiti in serie e parallelo. È fondamentale, a tal proposito che nel valutare l'impedenza equivalente, la parte di circuito che si rende passiva contenga solo elementi lineari.
Nell'esempio:

$R_\mathrm{AB} = \left ( \left ( 1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega \right ) \| 2\,\mathrm{k}\Omega \right ) + 1\,\mathrm{k}\Omega =$

$= 2\,\mathrm{k}\Omega$

Voci correlate

• Teorema di Norton
• Impedenza

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Collegamenti esterni

• Origini del concetto di circuito equivalente
• Il teorema di Thevenin in allaboutcircuits.com

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