Funzione di Mertens
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La funzione di Mertens, è una funzione che associa ad ogni intero positivo n il numero intero denotato con M(n) ottenuto come la somma dei valori assunti dalla funzione di Möbius in corrispondenza dei numeri interi compresi tra 1 ed n:
,
dove μ(k) denota la funzione di Möbius.
Essa è stata studiata dal matematico tedesco Franz Mertens (1840-1924).
Come successione di interi la funzione di Mertens compare nella OEIS in corrispondenza della sigla A002321.
Poiché la funzione di Möbius assume solo tre possibili valori (-1, 0 e +1), la funzione di Mertens, che è il suo integrale discreto, deve soddisfare la seguente disuguaglianza
In effetti i suoi valori al variare di n presentano un andamento oscillante e variazioni ridotte, presentano molti intervalli di stazionarietà e frequenti attraversamenti dell'asse delle ascisse.
Indice |
[modifica] Alcuni valori
I primi valori sono dati dalla seguente tavola
| M(n) | +1 | +2 | +3 | +4 | +5 | +6 | +7 | +8 | +9 | +10 | +11 | +12 | +13 | +14 | +15 | +16 | +17 | +18 | +19 | +20 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0+ | 1 | 0 | -1 | -1 | -2 | -1 | -2 | -2 | -2 | -1 | -2 | -2 | -3 | -2 | -1 | -1 | -2 | -2 | -3 | -3 |
| 20+ | -2 | -1 | -2 | -2 | -2 | -1 | -1 | -1 | -2 | -3 | -4 | -4 | -3 | -2 | -1 | -1 | -2 | -1 | 0 | 0 |
| 40+ | -1 | -2 | -3 | -3 | -3 | -2 | -3 | -3 | -3 | -3 | -2 | -2 | -3 | -3 | -2 | -2 | -1 | 0 | -1 | -1 |
| 60+ | -2 | -1 | -1 | -1 | 0 | -1 | -2 | -2 | -1 | -2 | -3 | -3 | -4 | -3 | -3 | -3 | -2 | -3 | -4 | -4 |
| 80+ | -4 | -4 | -3 | -4 | -4 | -3 | -2 | -1 | -2 | -2 | -1 | -1 | 0 | 1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Un'idea della lenta crescita del codominio della M(n) al crescere di n è data dai primi termini della successione dei valori M(10k), successione reperibile in OEIS in corrispondenza della sigla A084237 i cui valori per k = 0, 1, ..., 16 sono
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| M(10k) | 1 | -1 | 1 | 2 | -23 | -48 | 212 | 1037 | 1928 | -222 | -33722 | -87856 | 62366 | 599582 | -875575 | -3216373 | -3195437 |
[modifica] Altre proprietà
Mertens nel 1897 ha avanzato la congettura che valesse la disuguaglianza
,
dopo aver verificato che essa è soddisfatta per n < 10000.
Tuttavia nel 1985 A. M. Odlyzko e H. J. J. te Riele hanno dimostrato che tale congettura è errata, con una dimostrazione che richiede una comprensione del calcolo avanzato e che non fornisce un controesempio. Il minimo valore x che falsifica la congettura è ancora sconosciuto, tuttavia è stato dimostrato che deve essere compreso tra 1012 e 1065.
Una ulteriore congettura di Odlyzko e te Riele ancora aperta affermerebbe che
Il termine n-esimo della successione di Mertens fornisce il valore del determinante della matrice di Redheffer n × n.
[modifica] Voci correlate
[modifica] Collegamenti esterni
[modifica] Collegamenti esterni
- A. M. Odlyzko, H. J. J. te Riele (1985): Disproof of the Mertens conjecture, J. reine angew. Math., 357 pp. 138-160. (v. in PDF
- Valori delle funzioni di Möbius e di Mertens per n=1 ,2 ,... ,2500
- Mertens function in MathWorld
