Funzione di Mertens

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Andamento della funzione di Mertens da 1 a 10000
Andamento della funzione di Mertens da 1 a 10000000

La funzione di Mertens è una funzione che associa ad ogni intero positivo n il numero intero denotato con M(n) ottenuto come la somma dei valori assunti dalla funzione di Möbius in corrispondenza dei numeri interi compresi tra 1 ed n:

 M(n) = \sum_{k=1}^{n} \mu(k),

dove μ(k) denota la funzione di Möbius.

Essa è stata studiata dal matematico tedesco Franz Mertens (1840-1924).

Come successione di interi la funzione di Mertens compare nella OEIS in corrispondenza della sigla A002321.

Poiché la funzione di Möbius assume solo tre possibili valori (-1, 0 e +1), la funzione di Mertens, che è il suo integrale discreto, deve soddisfare la seguente disuguaglianza

\left| M(n) \right|\leq n

In effetti i suoi valori al variare di n presentano un andamento oscillante e variazioni ridotte, presentano molti intervalli di stazionarietà e frequenti attraversamenti dell'asse delle ascisse.

Alcuni valori[modifica | modifica sorgente]

I primi valori sono dati dalla seguente tavola

M(n) +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 +13 +14 +15 +16 +17 +18 +19 +20
0+ 1 0 -1 -1 -2 -1 -2 -2 -2 -1 -2 -2 -3 -2 -1 -1 -2 -2 -3 -3
20+ -2 -1 -2 -2 -2 -1 -1 -1 -2 -3 -4 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -1 0 0
40+ -1 -2 -3 -3 -3 -2 -3 -3 -3 -3 -2 -2 -3 -3 -2 -2 -1 0 -1 -1
60+ -2 -1 -1 -1 0 -1 -2 -2 -1 -2 -3 -3 -4 -3 -3 -3 -2 -3 -4 -4
80+ -4 -3 -4 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -2 -1 -1 0 1 2 2 1 1 1 1

Un'idea della lenta crescita del codominio della M(n) al crescere di n è data dai primi termini della successione dei valori M(10^k), successione reperibile in OEIS in corrispondenza della sigla A084237 i cui valori per k = 0, 1, ..., 16 sono

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
M(10^k) 1 -1 1 2 -23 -48 212 1037 1928 -222 -33722 -87856 62366 599582 -875575 -3216373 -3195437 -21830254 -46758740 899990187 461113106 3395895277 -2061910120

Altre proprietà[modifica | modifica sorgente]

Il grafico rappresenta la funzione di Mertens M(n) e le radici quadrate ±√n per n minore di 10000. Dopo aver controllato questi valori Mertens congetturò che la funzione M(n) fosse sempre compresa tra le due radici. Quest'ipotesi, nota come congettura di Mertens, è stata dimostrata essere falsa nel 1985, quasi un secolo dopo la sua formulazione.

Mertens nel 1897 ha avanzato la congettura che valesse la disuguaglianza

\left| M(n) \right| \leq \sqrt {n},

dopo aver verificato che essa è soddisfatta per n < 10000.

Tuttavia nel 1985 A. M. Odlyzko e H. J. J. te Riele hanno dimostrato che tale congettura è errata, con una dimostrazione che richiede una comprensione del calcolo avanzato e che non fornisce un controesempio. Il minimo valore x che falsifica la congettura è ancora sconosciuto, tuttavia è stato dimostrato che deve essere compreso tra 1012 e 1065.

Un'ulteriore congettura di Odlyzko e te Riele ancora aperta affermerebbe che

\limsup_{n \to \infty}\frac{\left| M(n) \right|}{\sqrt {n}} = \infty

Il termine n-esimo della successione di Mertens fornisce il valore del determinante della matrice di Redheffer n × n.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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