Congettura abc

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La congettura abc (anche nota come congettura di Oesterle-Masser) è stata proposta per la prima volta da Joseph Oesterlé e David Masser nel 1985. La congettura è definita in funzione di tre numeri interi positivi a, b, c (da cui deriva il nome), privi di fattori comuni diversi da 1, e che soddisfino la relazione a+b=c . Se d è definito come il prodotto dei fattori distinti di abc, la congettura, essenzialmente, afferma che raramente d è molto più piccolo di c.

Sebbene non esista alcuna strategia elementare per risolvere il problema, la congettura è ritenuta molto importante per il numero di conseguenze interessanti che ne derivano. Dorian M. Goldfeld ha definito la congettura abc come "il più importante problema irrisolto dell'analisi diofantea"[1].

Nell'agosto del 2012 Shinichi Mochizuki ha pubblicato un articolo con una possibile dimostrazione della congettura. Mochizuki ha chiamato il teorema che utilizza nella dimostrazione il teorema inter-universale Teichmüller. Questo può essere utilizzato anche per dimostrare la congettura di Szpiro e la congettura di Vojta.[2][3][4]

Formulazioni[modifica | modifica wikitesto]

Per un numero intero positivo n, il radicale di n, definito \operatorname{rad}(n), è il prodotto dei distinti (non ripetuti, ovvero senza considerare l'esponente) fattori primi di n. Per esempio:

  • \operatorname{rad}(16) = \operatorname{rad}(2^4) = 2,
  • \operatorname{rad}(17) = 17,
  • \operatorname{rad}(18) = \operatorname{rad}(2\cdot 3^2) = 2\cdot 3 = 6.

Se a, b e c sono interi positivi coprimi[5] tali che

a+b=c

si scopre che "di solito"

c < \operatorname{rad}(abc)

1[modifica | modifica wikitesto]

La congettura abc sostiene che, tranne poche eccezioni, per ogni ε > 0 esiste solo un numero finito di triplette (a,b,c) di coprimi interi positivi con a+b=c tali che:

c > \operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}.

2[modifica | modifica wikitesto]

Una formulazione equivalente è che per ogni \varepsilon > 0 esiste una costante K tale che, per tutte le triplette di interi positivi coprimi (a,b,c) che soddisfano a+b=c, la seguente disuguaglianza

c < K \cdot \operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}

risulta vera.

3[modifica | modifica wikitesto]

Una terza formulazione della congettura implica la qualità q(a,b,c) di una tripletta (a,b,c), definita come:

 q(a, b, c) = \frac{ \log(c) }{ \log( \operatorname{rad}( abc ) ) }.

Per esempio:

  • q(4, 127, 131) = \frac {\log(131)} {\log(\operatorname{rad}(4\cdot 127\cdot 131))} = \frac {\log(131)} {\log(2\cdot 127\cdot 131)} = 0,46820...
  • q(3, 125, 128) = \frac {\log(128)} {\log(\operatorname{rad}(3\cdot 125\cdot 128))} = \frac {\log(128)} {\log(30)} = 1,426565...

Una tipica tripletta (a,b,c) di interi positivi coprimi con a+b=c avrà c<\operatorname{rad}(abc), per esempio q(a,b,c)<1. Le triplette con q>1 come nel secondo esempio sono piuttosto speciali, poiché consistono in numeri divisibili per potenze elevate di piccoli numeri primi.

La congettura abc sostiene che, per ogni \varepsilon > 0, esiste solo un numero finito di triplette (a,b,c) di interi positivi coprimi con a+b=c tale che:

q(a, b, c) > 1 + \varepsilon.

Mentre è noto che esistono infinite triplette (a,b,c) di interi positivi coprimi con a+b=c tali che q(a,b,c)>1, la congettura predice che solo un numero finito di queste hanno q>1,01 oppure q>1,001 o perfino q>1,0001, ecc.

Conseguenze[modifica | modifica wikitesto]

La congettura non è stata dimostrata, ma ha un vasto numero di interessanti conseguenze. Queste includono sia risultati già conosciuti, che congetture per le quali essa fornisce una dimostrazione condizionale:

Anche se il primo gruppo di queste conseguenze è ora stato dimostrato, la congettura abc stessa rimane di interesse a causa delle numerose profonde implicazioni che ha nella teoria dei numeri.

Risultati parziali[modifica | modifica wikitesto]

Non è noto se c può essere maggiorato da una funzione approssimativamente lineare del radicale di abc, come la congettura abc dichiara, o se può essere addirittura limitato da un \operatorname{rad}(abc) polinomiale. Tuttavia, i limiti esponenziali sono noti. In particolare, sono state dimostrate le seguenti limitazioni:

c < \exp{(K_1  \operatorname{rad}(abc)^{15}) } (C. L. Stewart & R. Tijdeman 1986),
c < \exp{ (K_2  \operatorname{rad}(abc)^{\frac{2}{3}+\varepsilon}) } (C. L. Stewart & Kunrui Yu 1991), e
c < \exp{ (K_3  \operatorname{rad}(abc)^{\frac{1}{3}+\varepsilon}) } (C. L. Stewart & Kunrui Yu 1996).

In questi, K_1 è una costante che non dipende da a, b, o c; K_2 e K_3 sono costanti che dipendono da \varepsilon (in un modo calcolabile) ma non da a, b, o c. Questi limiti si applicano a qualunque tripletta in cui c>2.

Triplette con radicali piccoli[modifica | modifica wikitesto]

La condizione che \varepsilon >0 è necessaria per la validità della congettura, così come l'esistenza di una moltitudine infinita di triplette a, b, c con \operatorname{rad}(abc)<c.

Per esempio, una tale tripletta può essere questa:

a = 1
b = 2^{6n} - 1
c = 2^{6n}

Siccome a e c contribuiscono insieme solo per un fattore di due al radicale, mentre b è divisibile per 9, allora

\operatorname{rad}(abc) < \frac {2c}{3}

per questi esempi. Sostituendo l'esponente ^{6n} agli altri esponenti costringendo b ad avere fattori quadratici elevati, il rapporto fra il radicale e c può essere arbitrariamente grande.

Un'altra tripletta con un radicale particolarmente piccolo fu trovata da Eric Reyssat[13]:

a = 2
b = 3^{10} \cdot 109 = 6436341
c = 23^5 = 6436343
\operatorname{rad}(abc) = 15042

Progetti di calcolo distribuito (grid computing)[modifica | modifica wikitesto]

Nel 2006, il Dipartimento di Matematica dell'Università di Leida, nei Paesi Bassi, insieme con l'istituto di scienze tedesco Kennislink, ha lanciato il progetto ABC@Home, un sistema grid computing che ambisce a trovare triplette addizionali a, b, c con \operatorname{rad}(abc)<c. Sebbene nessun finito insieme di esempi o controesempi può risolvere la congettura abc, si spera che le caratteristiche delle triplette scoperte da questo progetto possano aiutare a comprendere meglio la congettura e la teoria dei numeri più in generale.

Il suo obiettivo attuale è di ottenere una lista completa di tutte le triplette (a,b,c) con c non più grande di 1018[14].

Ad aprile 2011 il progetto dichiara di avere scoperto 21,1 milioni di triplette abc[15].

Forme raffinate e generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Nel 1996 il matematico Alan Baker ha proposto un'importante disuguaglianza, sostenendo che nelle disuguaglianze con cui è stata formulata la congettura abc, il \operatorname{rad}(abc) può essere sostituito da:

\epsilon ^{-\omega} \operatorname{rad}(abc),

dove \omega è il numero totale dei primi distinti che dividono a, b e c. Una congettura correlata di Andrew Granville sostiene che nella parte destra della disuguaglianza possiamo mettere:

O(\operatorname{rad}(abc) \Theta(\operatorname{rad}(abc))),

dove \Theta(n) è il numero di interi fino a n divisibile solo dai primi che dividono n.

Nel 1994, Jerzy Browkin e Juliusz Brzeziński formularono la congettura n[16], una versione della congettura abc che coinvolge gli interi ~n>2~.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Dorian Goldfeld, Beyond the last theorem in Math Horizons, 1996, pp. 26–34.
  2. ^ Shinichi Mochizuki, Inter-Universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations, Working Paper, agosto 2012.
  3. ^ Proof claimed for deep connection between primes, Nature News, 10 September 2012
  4. ^ ABC conjecture at the Polymath Wiki
  5. ^ Notare che se a+b=c, la coprimalità di a, b e c implica la coprimalità di ciascuna delle coppie formate da a, b, c. Quindi in questo caso non ha importanza quale concetto usiamo.
  6. ^ N. D. Elkies, ABC implies Mordell in Intern. Math. Research Notices, vol. 7, 1991, pp. 99–109, DOI:10.1155/S1073792891000144.
  7. ^ M. Langevin, Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture abc in Comptes rendus de l'Académie des sciences, vol. 317, 1993, pp. 441–444. (FR)
  8. ^ Joseph H. Silverman, Wieferich's criterion and the abc-conjecture in Journal of Number Theory, vol. 30, 1988, pp. 226–237, DOI:10.1016/0022-314X(88)90019-4.
  9. ^ (FR) Abderrahmane Nitaj, La conjecture abc in Enseign. Math., vol. 42, 1996, pp. 3–24.
  10. ^ Carl Pomerance, Computational Number Theory in The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, 2008, pp. 361–362.
  11. ^ http://www.math.uu.nl/people/beukers/ABCpresentation.pdf
  12. ^ Andrzej Dąbrowski, On the diophantine equation x!+A=y^2 in Nieuw Archief voor Wiskunde, IV., vol. 14, 1996, pp. 321–324.
  13. ^ Lando and Zvonkin, p.137
  14. ^ Data collected sofar, ABC@Home. URL consultato il 17 aprile 2010.
  15. ^ Data Collected So Far, ABC@Home. URL consultato l'11 aprile 2011.
  16. ^ J. Browkin, J. Brzeziński, Some remarks on the abc-conjecture in Math. Comp., vol. 62, American Mathematical Society, 1994, pp. 931–939, DOI:10.2307/2153551.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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