Problema di Waring

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In matematica, in particolare in teoria dei numeri, il problema di Waring, proposto da Edward Waring nel 1770, pone la seguente questione: esiste per ogni numero naturale k un intero positivo s tale che ogni numero naturale sia la somma di al più s potenze k-esime di numeri naturali?

La risposta affermativa, nota come teorema di Hilbert-Waring, fu fornita da Hilbert nel 1909.

Il problema di Waring ha la sua Classificazione delle ricerche matematiche, 11P05, come "Waring's problem and variants".

Il numero g(k)[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni k, il minimo numero s che verifica il teorema di Hilbert-Waring è denotato con g(k). Banalmente g(1)=1.

La prima parziale risposta sulla strada della determinazione esplicita di g(k) è stato il teorema di Lagrange del 1770, il quale stabilisce che quattro quadrati sono sufficienti a rappresentare ogni numero naturale; inoltre 7 non può essere scritto come somma di tre quadrati, e quindi g(2)=4.

Negli anni furono stabili vari limiti usando sofisticate tecniche di dimostrazione. Ad esempio Joseph Liouville mostrò che g(4) è minore o uguale di 53. Hardy e Littlewood provarono che ogni numero sufficientemente grande è la somma di 19 quarte potenze.

Wieferich[1] e A. J. Kempner[2] dimostrarono tra il 1909 e il 1913 che g(3)=9; mentre R. Balasubramanian, F. Dress, e J.-M. Deshouillers[3][4] provarono che g(4)=19 nel 1986; Chen Jingrun dimostrò che g(5)=37 nel 1964 e Pillai[5] che g(6)=73 nel 1940.

Eulero congetturò che

g(k)=2^k+\left[\left(\frac{3}{2}\right)^k\right]-2

dove [x] denota la parte intera di x[6].

Il numero G(k)[modifica | modifica wikitesto]

Legata a g(k) è il la funzione G(k), definita come quel numero s tale che ogni numero sufficientemente grande è somma di al più s potenze k-esime. Dalla definizione è chiaro che G(k)\leq g(k), poiché se ogni numero è somma di s potenze a maggior ragione lo sarà ogni numero da un certo punto in poi.

È facile vedere che G(2)=4, perché ogni numero congruo a 7 modulo 8 non può essere rappresentato come somma di tre quadrati (dimostrando quindi che G(2)\geq 4), e al contempo si ha g(2)=4.

Harold Davenport dimostrò nel 1939 che G(4)=16.

Non sono noti altri valori di G(k); sono però conosciuti limiti inferiori e superiori.

Limiti inferiori[modifica | modifica wikitesto]

Per ogni k maggiore di 1 si ha G(k)>k. Per classi speciali di numeri questo limite si alza:

  • se k=2^r o k=3\cdot 2^r (con r>1) allora G(k)\geq 2^{r+2};
  • se p è un primo maggiore di 2 e k=p^r(p-1), allora G(k)\geq p^{r+1};
  • se p è un primo maggiore di 2 e k=\frac{p^r(p-1)}{2}, allora G(k)\geq \frac{p^{r+1}-1}{2}.

Limiti superiori[modifica | modifica wikitesto]

Sono noti i seguenti limiti superiori per G(k):

k 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
G(k)\leq 7 17 21 33 42 50 59 67 76 84 92 100 109 117 125 134 142

G(3) è almeno 4, poiché i cubi sono congrui a 0, 1 o -1 modulo 9; 1290740 è il più grande numero minore di 1,3\cdot 10^9 che richiede sei cubi, e il numero di interi tra N e 2N decresce con sufficiente velocità all'aumentare di N che si pensa che sia G(3)=4; il più grande numero noto che non è la somma di quattro cubi è 7373170279850 [7], e ci sono ragioni per affermare che è il più grande esistente.

13792 è il più grande numero che richiede 17 quarte potenze (Deshouillers, Hennecart e Landreau hanno dimostrato nel 2000 [8] che ogni numero tra 13793 e 10245 ne richiede al massimo sedici, e Kawada, Wooley e Deshouillers hanno esteso il risultato di Davenport del 1939 mostrando che ogni numero oltre 10220 ne richiede al massimo sedici). Inoltre sedici potenze sono sempre necessarie per rappresentare i numeri nella forma 16^n\cdot 31.

617597724 è il più grande numero minore di 1,3\cdot 10^9 che richiede dieci quinte potenze, e 51033617 l'ultimo in questo intervallo che ne richiede 11.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ (DE) Arthur Wieferich, Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neun positiven Kuben darstellen läßt in Mathematische Annalen, vol. 66, 1909, pp. 95-101.
  2. ^ (DE) Aubrey Kempner, Bemerkungen zum Waringschen Problem in Mathematische Annalen, vol. 72, 1912, pp. 387-399.
  3. ^ (FR) Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Dress, François, Problème de Waring pour les bicarrés. I. Schéma de la solution. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 303 (1986), no. 4, pp. 85-88
  4. ^ (FR) Balasubramanian, Ramachandran; Deshouillers, Jean-Marc; Dress, François, Problème de Waring pour les bicarrés. II. Résultats auxiliaires pour le théorème asymptotique. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 303 (1986), no. 5, pp. 161-163
  5. ^ (EN) Pillai, S. S. On Waring's problem g(6)=73, Proc. Indian Acad. Sci. 12A, pp. 30-40
  6. ^ Euler's Conjecture - from Wolfram MathWorld
  7. ^ Jean-Marc Deshouillers, François Hennecart, Bernard Landreau, 7373170279850, Mathematics of Computation 69 (2000) 421--439, available at http://www.ams.org/mcom/2000-69-229/S0025-5718-99-01116-3/S0025-5718-99-01116-3.pdf
  8. ^ Deshouillers, Hennecart, Landreau, Waring's Problem for sixteen biquadrates - numerical results, Journal de Théorie des Nombers de Bordeaux 12 (2000), 411-422; http://www.math.ethz.ch/EMIS/journals/JTNB/2000-2/Dhl.ps

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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