Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati

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Il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati afferma che ogni numero primo si può scrivere come somma di due quadrati perfetti se e solo se è congruo a 1 modulo 4, in altre parole se la differenza tra tale numero primo e 1 è multipla di 4. Per esempio:

5=1^2+2^2 \quad 13=2^2+3^2 \quad 17=1^2+4^2 \quad 29=2^2+5^2

Fa eccezione il 2, che pur non essendo congruo a 1 modulo 4, può tuttavia essere scritto come somma di due quadrati: 2=1^2+1^2.

La prima dimostrazione nota di questo teorema risale a Eulero.

Fermat propose questo teorema in una lettera a Marin Mersenne datata 25 dicembre 1640, per questo motivo è noto anche come Teorema di Natale di Fermat.

Dimostrazione[modifica | modifica wikitesto]

Consideriamo un primo p=4k+1: il primo passo è dimostrare che l'equazione

x^2+y^2=np

ha soluzioni in cui x,y,n sono numeri naturali tali che x e y non sono divisibili per p. Questo è equivalente a chiedere che l'equazione modulare

x^2+y^2\equiv 0\bmod p

abbia soluzione per x,y\not\equiv 0\bmod p. Per il criterio di Eulero,

\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}=(-1)^{\frac{4k+1-1}{2}}=(-1)^{2k}=1

Di conseguenza, se a è un residuo quadratico modulo p, lo sarà anche -a, in quanto prodotto di due residui quadratici; quindi, preso comunque un x, è sempre possibile trovare un y tale che x^2+y^2\equiv 0\bmod p. In particolare, è possibile scegliere x e y compresi tra 0 e p/2 (estremi esclusi); da questo si ottiene che

x^2+y^2<\left(\frac{p}{2}\right)^2+\left(\frac{p}{2}\right)^2=\frac{p^2}{2}

e quindi x^2+y^2=np ha una soluzione in cui n<p.

Consideriamo il più piccolo n positivo tale che x^2+y^2=np è risolubile (in numeri interi). Se n=1 il teorema è dimostrato; altrimenti, utilizzando l'algoritmo di Euclide possiamo scrivere

x=an+s
y=bn+t

con a,b,s,t interi e s,t\in \lbrack-n/2,n/2\rbrack. Se s e t fossero entrambi nulli allora si avrebbe np=\left(an\right)^2+\left(bn\right)^2=n^2(a^2+b^2) e quindi p=n(a^2+b^2) il che è impossibile perché p è un numero primo. Dalle relazioni di x e y con n si ottiene che esiste un intero k tale che

nk=s^2+t^2

e la condizione sui valori assoluti di s e t implica che k<n. Moltiplicando np per nk si ottiene

n^2pk=\left(x^2+y^2\right)\left(s^2+t^2\right)=\left(xs+yt\right)^2+\left(xt-ys\right)^2

Le basi dei quadrati dell'ultimo membro sono divisibili per n, perché

xs+yt=\left(an+s\right)s+\left(bn+t\right)t=n\left(as+bt+k\right)=nq
xt-ys=\left(an+s\right)t-\left(bn+t\right)s=n\left(at-bs\right)=nr

Quindi

pk=q^2+r^2

contro l'ipotesi che n sia il minimo intero che verifica la condizione. Di conseguenza n=1 e il teorema è dimostrato.

Dimostrazione attraverso gli interi gaussiani[modifica | modifica wikitesto]

È possibile dimostrare questo teorema anche con l'uso degli interi di Gauss.

Infatti, cominciamo come prima con l'osservare che per primi nella forma 4k+1 si ha per il criterio di Eulero che -1 è un residuo quadratico, in quanto

\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}=(-1)^{\frac{4k+1-1}{2}}=(-1)^{2k}=1

ovvero l'equazione x^2+1\equiv 0 \mod p è risolubile. Quindi esiste un x per cui p|(x^2+1). Possiamo scrivere 1+x^2=1-(-x^2)=(1-ix)(1+ix) dove i è l'unità immaginaria. Se p fosse "primo" anche nell'anello \mathbb{Z}[i] degli interi gaussiani, p|(1-ix)(1+ix) dovrebbe implicare p|(1-ix) oppure p|(1+ix), ovvero dovrebbero esistere a,b\in\mathbb{Z} tali che p(a+ib)=1\pm ix. Ma al primo membro la parte reale è ap, mentre nella seconda è 1; poiché tutti questi numeri sono interi e p\neq\pm 1, questo è assurdo, ovvero si deve avere

p=(A+iB)(C+iD)

per qualche A,B,C,D\in\mathbb{Z} dove A+iB e C+iD non sono unità dell'anello \mathbb{Z}[i]. Passando alle norme, e ricordando che il prodotto delle norme è uguale alla norma del prodotto, si ha

p^2=(A^2+B^2)(C^2+D^2)

Queste quantità sono tutte intere (anzi, naturali), per cui abbiamo soltanto due possibilità:

  • A^2+B^2=C^2+D^2=p;
  • A^2+B^2=1 e C^2+D^2=p^2 (o viceversa).

Nel primo caso il teorema è dimostrato. Nel secondo caso A+iB risulta essere un'unità di \mathbb{Z}[i]. Questo dà luogo ad una decomposizione triviale di p, che è da escludere. Il teorema è dimostrato.

Dimostrazione usando il lemma di Thue[modifica | modifica wikitesto]

Attraverso il lemma di Thue è possibile dare una dimostrazione semplice e diretta del teorema di Fermat. Come prima, sappiamo che se p è un primo congruo a 1 modulo 4, allora -1 è un residuo quadratico modulo p: sia a tale che

a^2\equiv -1 \mod p

e consideriamo la congruenza

ax\equiv y\mod p

Se X e Y verificano la congruenza, allora

a^2X^2\equiv Y^2\mod p\Longrightarrow X^2+Y^2\equiv 0\mod p\Longrightarrow X^2+Y^2=hp

Per il lemma di Thue, almeno una coppia (X, Y) di questo tipo verifica |X|<\sqrt{p},~|Y|<\sqrt{p} e quindi

X^2+Y^2<2(\sqrt{p})^2=2p

e quindi in questo caso h <2, e, poiché h è intero, h =1, ovvero X^2+Y^2=p.

Generalizzazioni[modifica | modifica wikitesto]

Si può innanzitutto dimostrare che un numero primo congruo ad 1 modulo 4 si scrive in modo unico come somma di 2 quadrati.

1) In modo non molto diverso si può dimostrare che ogni numero primo congruo a 1 modulo 6 si può scrivere nella forma

p=x^2+3y^2

per fare ciò è necessario però dimostrare che -3 è un residuo quadratico per ogni numero primo congruo a 1 modulo 6, a tale scopo si può usare il lemma di Gauss

2) Nelle sue "Osservazioni su Diofanto" Fermat spiega il metodo per trovare un numero intero esprimibile in esattamente n modi diversi come somma di due quadrati non nulli. Raddoppiamo n e scomponiamo 2n come prodotto di fattori primi. Una volta diminuiti di 1 tali fattori, attribuiamo i numeri ottenuti come esponenti di numeri primi congrui a 1 modulo 4.

Esempio: si vuole trovare un intero esprimibile in tre modi diversi come somma di due quadrati. Si scompone 6 come prodotto di fattori primi (2 e 3). Diminuiamo di 1 e otteniamo 1 e 2. Attribuendo 1 e 2 come esponenti di due primi congrui a 1 modulo 4 (per esempio 13 e 5) otteniamo: 13^1*5^2=325 che si esprime in tre modi diversi come somma di quadrati.

325=1^2+18^2=6^2+17^2=10^2+15^2

Consideriamo ora di avere un n e di voler sapere in quanti modi esso sia rappresentabile come somma di due quadrati in modi inequivalenti, ossia che due rappresentazioni non siano la medesima rappresentazione con segni cambiati o elementi permutati. Per quanto affermato affinché n sia rappresentabile come somma di due quadrati n deve poter essere scritto nella seguente forma n=2^{r}D^{2}m con m={p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_k}^{a_k} dove i vari p_i sono primi congrui ad 1 modulo 4 e dove i fattori di D sono i primi congrui a 3 modulo 4. Allora il numero di rappresentazioni di n (come somma di due quadrati ed indicato con r_2(n)) è il numero di rappresentazioni di m, vale la formula: r_2(n)={(1/2)}[{(a_1+1)(a_2+1)...(a_k+1)+ \varphi}] dove la \varphi assume valore 1 allorché m sia un quadrato perfetto, 0 altrimenti.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • H. Davenport, Capitolo V.2 in Aritmetica superiore, Bologna, Zanichelli, 1994, ISBN 88-08-09154-6.
  • G. M. Piacentini Cattaneo, Algebra, un approccio algoritmico, Padova, Decibel, 1996, ISBN 978-88-08-16270-0.
  • Pierre de Fermat, Osservazioni su Diofanto, Boringhieri, 2006, ISBN 88-339-0998-0.
  • David M. Burton, Elementary Numbert Theory, McGraw-Hill, 2007, ISBN 978-0-07-305188-8.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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