Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati

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Il teorema di Fermat sulle somme di due quadrati afferma che ogni numero primo dispari si può scrivere come somma di due quadrati perfetti se e solo se è congruo a 1 modulo 4, in altre parole se la differenza tra tale numero primo e 1 è multipla di 4. Per esempio:

$5=1^2+2^2 \quad 13=2^2+3^2 \quad 17=1^2+4^2 \quad 29=2^2+5^2$

La prima dimostrazione nota di questo teorema risale a Eulero.

Fermat propose questo teorema in una lettera a Marin Mersenne datata 25 dicembre 1640, per questo motivo è noto anche come Teorema di Natale di Fermat.

Indice

1 Dimostrazione
2 Dimostrazione attraverso gli interi gaussiani
3 Dimostrazione usando il lemma di Thue
4 Generalizzazioni
5 Bibliografia
6 Voci correlate

[modifica] Dimostrazione

Innanzitutto dimostriamo che per un primo p nella forma 4k+1 l'equazione

$x^2+y^2\equiv p$

ha soluzione. Infatti, per il criterio di Eulero,

$\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}=(-1)^{\frac{4k+1-1}{2}}=(-1)^{2k}=1$

Quindi, se a è un residuo quadratico, lo sarà anche -a, in quanto prodotto di due residui quadratici, e l'equazione $x^2+y^2\equiv p$ ha almeno una soluzione.

Questo significa che l'equazione $np=x^2+y^2 \qquad (1)$

ha soluzioni con x, y e n numeri interi. Noi vogliamo dimostrare che

$p = x 2 + y 2$

cioè se m è il più piccolo intero che soddisfa la (1) allora m=1. Ragioniamo per assurdo, e supponiamo che m>1; allora utilizzando l'algoritmo di Euclide possiamo scrivere

x = a m + s

y = b m + t

con

$s,t \in \lbrack-m/2,m/2\rbrack$

È importante il fatto che s e t non possono essere nulli altrimenti si avrebbe

$mp=\left(am\right)^2+\left(bm\right)^2$

$p=m\left(a^2+b^2\right)$

che è impossibile essendo p un numero primo. Dalla (2) e dalle relazioni di x e y con m si ottiene che esiste un intero k tale che

$m k = s 2 + t 2$

essendo i valori assoluti di s e t uguali al massimo a m/2 si ricava facilmente che k<m. A questo punto possiamo moltiplicare pm per mk ottenendo

$m^2pk=\left(x^2+y^2\right)\left(s^2+t^2\right)=\left(xs+yt\right)^2+\left(xt-ys\right)^2$

Le basi dei quadrati dell'ultimo membro sono divisibili per m infatti

$xs+yt=\left(am+s\right)s+\left(bm+t\right)t=m\left(as+bt+k\right)=mq$

$xt-ys=\left(am+s\right)t-\left(bm+t\right)s=m\left(at-bs\right)=mr$

quindi

$p k = q 2 + r 2$

ma (ricordando che k<m) ciò è impossibile poiché m è il minore intero che soddisfa la 1. L'assurdo sta nell'aver supposto m>1, la tesi è dimostrata.

[modifica] Dimostrazione attraverso gli interi gaussiani

È possibile dimostrare questo teorema anche con l'uso degli interi di Gauss.

Infatti, cominciamo come prima con l'osservare che per primi nella forma 4k+1 si ha per il criterio di Eulero che -1 è un residuo quadratico, in quanto

$\left(\frac{-1}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}=(-1)^{\frac{4k+1-1}{2}}=(-1)^{2k}=1$

ovvero l'equazione $x^2+1\equiv 0 \mod p$ è risolubile. Quindi esiste un x per cui $p | (x 2 + 1)$ . Possiamo scrivere $1 + x 2 = 1 - ( - x 2) = (1 - i x)(1 + i x)$ dove i è l'unità immaginaria. Se p fosse "primo" anche nell'anello $\mathbb{Z}[i]$ degli interi gaussiani, $p | (1 - i x)(1 + i x)$ dovrebbe implicare $p | (1 - i x)$ oppure $p | (1 + i x)$ , ovvero dovrebbero esistere $a,b\in\mathbb{Z}$ tali che $p(a+ib)=1\pm ix$ . Ma al primo membro la parte reale è ap, mentre nella seconda è 1; poiché tutti questi numeri sono interi e $p\neq\pm 1$ , questo è assurdo, ovvero si deve avere

p = (A + i B)(C + i D)

per qualche $A,B,C,D\in\mathbb{Z}$ dove $A + i B$ e $C + i D$ non sono unità dell'anello $\mathbb{Z}[i]$ . Passando alle norme, e ricordando che il prodotto delle norme è uguale alla norma del prodotto, si ha

p 2 = (A 2 + B 2)(C 2 + D 2)

Queste quantità sono tutte intere (anzi, naturali), per cui abbiamo soltanto due possibilità:

$A 2 + B 2 = C 2 + D 2 = p$ ;
$A 2 + B 2 = 1$ e $C 2 + D 2 = p 2$ (o viceversa).

Nel primo caso il teorema è dimostrato. Nel secondo caso $A + i B$ risulta essere un'unità di $\mathbb{Z}[i]$ . Questo da luogo ad una decomposizione triviale di $p$ , che è da escludere. Il teorema è dimostrato.

[modifica] Dimostrazione usando il lemma di Thue

Attraverso il lemma di Thue è possibile dare una dimostrazione semplice e diretta del teorema di Fermat. Come prima, sappiamo che se p è un primo congruo a 1 modulo 4, allora -1 è un residuo quadratico modulo p: sia a tale che

$a^2\equiv -1 \mod p$

e consideriamo la congruenza

$ax\equiv y\mod p$

Se X e Y verificano la congruenza, allora

$a^2X^2\equiv Y^2\mod p\Longrightarrow X^2+Y^2\equiv 0\mod p\Longrightarrow X^2+Y^2=hp$

Per il lemma di Thue, almeno una coppia (X, Y) di questo tipo verifica $|X|<\sqrt{p},~|Y|<\sqrt{p}$ e quindi

$X^2+Y^2<2(\sqrt{p})^2=2p$

e quindi in questo caso h <2, e, poiché h è intero, h =1, ovvero $X 2 + Y 2 = p$ .

[modifica] Generalizzazioni

1) In modo non molto diverso si può dimostrare che ogni numero primo congruo a 1 modulo 6 si può scrivere nella forma

$p = x 2 + 3 y 2$

per fare ciò è necessario però dimostrare che -3 è un residuo quadratico per ogni numero primo congruo a 1 modulo 6, a tale scopo si può usare il lemma di Gauss

2) Nelle sue "Osservazioni su Diofanto" Fermat spiega il metodo per trovare un numero intero esprimibile in esattamente n modi diversi come somma di due quadrati non nulli. Raddoppiamo n e scomponiamo 2n come prodotto di fattori primi. Una volta diminuiti di 1 tali fattori, attribuiamo i numeri ottenuti come esponenti di numeri primi congrui a 1 modulo 4.

Esempio: si vuole trovare un intero esprimibile in tre modi diversi come somma di due quadrati. Si scompone 6 come prodotto di fattori primi (2 e 3). Diminuiamo di 1 e otteniamo 1 e 2. Attribuendo 1 e 2 come esponenti di due primi congrui a 1 modulo 4 (per esempio 13 e 5) otteniamo: $131 * 5 2 = 325$ che si esprime in tre modi diversi come somma di quadrati.

$325 = 1 2 + 18 2 = 6 2 + 17 2 = 10 2 + 15 2$

[modifica] Bibliografia

H. Davenport, Aritmetica superiore, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 8808091546 - Capitolo V.2
G.M. Piacentini Cattaneo, Algebra, un approccio algoritmico, Decibel, Padova 1996, ISBN 9788808162700
Pierre de Fermat, Osservazioni su Diofanto, Boringhieri, 2006, ISBN 8833909980
David M. Burton, Elementary Numbert Theory, McGraw-Hill, 2007, ISBN 9780073051888

[modifica] Voci correlate

Teorema dei quattro quadrati

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Teorema di Fermat sulle somme di due quadrati

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Indice

[modifica] Dimostrazione

[modifica] Dimostrazione attraverso gli interi gaussiani

[modifica] Dimostrazione usando il lemma di Thue

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