Polinomio separabile

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Un polinomio f(x) \in K[x] si dice separabile se ciascuno dei suoi fattori irriducibili ha radici tutte distinte nel suo campo di spezzamento. Esiste tuttavia un'altra definizione, non equivalente bensì più forte della precedente, di polinomio separabile. Questa dice che f è separabile se non ha zeri multipli. Questa condizione è equivalente a richiedere che f e la sua derivata formale f′ siano coprimi. Queste due differenti definizioni non comportano tuttavia grossa confusione in quanto la nozione di polinomio separabile viene principalmente utilizzata sui polinomi irriducibili per i quali le due definizioni sono equivalenti.

Si prova che tutti i polinomi irriducibili f(x) \in K[x] che hanno uno zero in un'estensione separabile di K sono separabili. Di conseguenza sono separabili tutti i polinomi a coefficienti su campi perfetti, e dunque i polinomi su campi di caratteristica 0 o su campi finiti.

Per quanto detto, è chiaro che ogni polinomio del tipo f(x)=x^n-1 \in \mathbb Q [x] è separabile, ma è immediato verificare direttamente che\ x^n-1 e f\ ' (x)=nx^{n-1} sono coprimi e dunque che f è separabile su \mathbb Q nel senso più forte. Si osservi tuttavia che questo procedimento non si può fare per polinomi del tipo f(x)=x^p-y^p \in F_p(y^p)[x], ove F_p(y^p) è il campo finito con p elementi a cui si è aggiunta la potenza p-esima di un elemento y trascendente su F_p. Si ha infatti che f\ '(x)=0 e dunque il massimo comun divisore tra f' e f è f stesso e quindi, dato che non è difficile provare che f è irriducibile, si ha che f non è separabile per nessuna delle due definizioni.

In generale, si prova che i polinomi irriducibili non separabili su un campo di caratteristica p sono esattamente i polinomi irriducibili che si possono scrivere come f(x)=g(x^p) per un qualche polinomio g(x).



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