Scomposizione dei polinomi

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La scomposizione dei polinomi in fattori, anche chiamata fattorizzazione dei polinomi, significa esprimere un qualsiasi polinomio come prodotto di due o più fattori di grado inferiore, che possono essere sia singoli monomi, sia polinomi in parentesi. Alcuni polinomi, però non possono essere espressi come il prodotto di polinomi di grado inferiore, in tal caso son detti irriducibili. La scomposizione dei polinomi è utile nelle operazioni con le frazioni algebriche.

Metodi di scomposizione[modifica | modifica sorgente]

Raccoglimento a fattore comune[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Raccoglimento a fattor comune.

Significa mettere in evidenza dei numeri, delle lettere o entrambi che dividano tutti o alcuni degli elementi del polinomio. Se il fattore evidenziato divide tutti gli elementi si avrà un raccoglimento totale, se invece il fattore è comune solo ad alcuni, il raccoglimento sarà parziale.

Un esempio di raccoglimento totale è:

AB+AC+AD=A(B+C+D) .

In caso in cui ci siano numeri si calcola il massimo comune divisore. Per esempio:

3AB+9AC=3A(B+3C)

Un esempio di raccoglimento parziale può essere:

AB+AC+B^2+BC = A(B+C)+B(B+C)

In questo caso, il risultato ottenuto presenta anch'esso un fattore comune (il binomio B+C), e quindi si può procedere a un'ulteriore scomposizione dell'espressione ottenuta:

 A(B+C)+B(B+C) = (B+C)(A+B)

Prodotti notevoli[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Prodotti notevoli.

Alcuni polinomi sono il risultato di particolari moltiplicazioni o di elevamenti a potenza di binomi o altri polinomi (prodotti notevoli). Conoscendo in anticipo questi prodotti, è possibile, applicando a ritroso i passaggi, risalire con facilità ai fattori che li compongono.

Alcuni esempi di prodotti notevoli possono essere:

\, x^2 - y^2 = (x+ y)(x-y)
\, x^2+2xy+y^2=(x+y)^2

Da notare attentamente la differenza di segni, in quanto le due espressioni non sono identiche bensì differiscono per il segno comportando una forma scomposta non identica.

Trinomi particolari di secondo grado[modifica | modifica sorgente]

I trinomi di secondo grado si dicono particolari quando:

  • il coefficiente di x^2 è 1;
  • il coefficiente della x ed il termine noto sono rispettivamente la somma ed il prodotto di due numeri.

Ad esempio:

x^2+5x-6
5=6-1
-6=6\cdot(-1)

Possiamo quindi scomporre questo trinomio di secondo grado in questo modo:

x^2+5x-6=(x-1)(x+6)

In generale avremo che:

x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

Trinomi notevoli[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Trinomio notevole.

I trinomi di secondo grado del tipo:

ax^2+bx+c

possono essere scomposti come:

ax^2+bx+c=a(x-u)(x-v)

dove u e v sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado:

ax^2+bx+c=0

Regola di Ruffini[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Regola di Ruffini.

Dato un generico polinomio \,P(x), ad esempio \,P(x) = x^3+2x^2-x-2, se si riesce a trovare un numero a tale che \,P(a) = 0 allora il polinomio \,P(x) è divisibile per il binomio di primo grado \,(x - a), quindi applicando la regola della divisione secondo il teorema del resto si ottiene il polinomio quoziente \,Q(X), il polinomio iniziale \,P(x) si può quindi scomporre come:

\,P(x) = (x-a)Q(x)

nel caso in cui si possano ottenere tanti numeri (a,b,c) che annullino il polinomio quanto è il grado del polinomio dato, si avrà:

\,P(x) = (x-a)(x-b)(x-c)

Nel polinomio in esempio \,P(x) = x^3+2x^2-x-2 si considerino i numeri ottenuti come rapporto tra i divisori del termine noto ed i divisori del coefficiente del termine di grado massimo (per il teorema delle radici razionali), nel nostro caso i numeri \,+1,-1,+2,-2, si trova che \,P(1)=0, \,P(-1)=0 e \,P(-2)=0, quindi si potrà scrivere:

\,x^3+2x^2-x-2=(x-1)(x+1)(x+2)

Anche se è -2 a rendere nullo il polinomio, ricordiamo che nell'espressione generale il termine a compare in \,(x-a) anteposto da un segno meno, e quindi comporta il cambio di segno di quest'ultimo.

Vediamo un altro esempio consideriamo il polinomio \,P(x) = x^3-2x^2+4x-3, per detto polinomio sarà \,P(1)=0, dato che non è possibile trovare altri numeri per i quali si annulla il polinomio si procederà con la divisione con la regola di Ruffini, quindi sarà:

\,Q(x)= x^2-x+3

allora il polinomio si potrà così scomporre:

\,x^3-2x^2+4x-3=(x-1)(x^2 - x + 3)

Riassunto delle scomposizioni riconducibili a prodotti notevoli[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Prodotti notevoli.

Ecco uno schema riassuntivo di tutte le scomposizioni riconducibili a prodotti notevoli:

\,a^2-b^2=(a-b)(a+b)
\,a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
\,a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
\,a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^2
\,a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3
\,a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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