Iterazione di punto fisso

In analisi numerica, l'iterazione di punto fisso o iterazione funzionale è un metodo per trovare le radici di una funzione, ovvero per risolvere un'equazione nella forma $\,f(x) = 0$.

Notiamo infatti che se $\,f,g : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sono due funzioni tali che $\,g(x)=x - f(x)$ si ha

$f(\alpha)= 0 \Leftrightarrow g(\alpha) = \alpha$

cioè $\alpha$ è radice di f se e solo se è punto fisso di g. Quindi il metodo consiste nel risolvere l'equazione $\,g(x)=x$ dove la generica espressione di g è

$g(x) = x - f(x) + F(f(x)) \, ; \, F(0) =0.$

Si vede quindi che g - la funzione di iterazione - può essere scelta in vari modi. Ad esempio se $f(x) = x^{2} + x +1$ si può scegliere $g(x) = -x^{2} -1 \, , \, g(x)= -1 -\frac{1}{x} ...$

La soluzione si approssima - scelto un punto $\,x_0$ iniziale - con la successione

$\,x_{n+1} = g(x_{n})$.

Proprietà

La convergenza del metodo è garantita sotto determinate ipotesi da alcuni risultati teorici.

Intanto se esiste un intervallo $\,[a,b]$ tale che

$i) g: [a,b] \rightarrow [a,b]$

$ii) g \in C^1([a,b])$

$iii) |g'(x)| < 1 \; \forall x \in [a,b]$

allora g ha un unico punto fisso in $\,[a,b]$ (è una contrazione) e se $\, x_0 \in [a,b]$ la successione sopra definita converge ad esso linearmente.

Tuttavia non è sempre facile determinare un intervallo siffatto. Se però si conosce bene il comportamento di g nei pressi del punto fisso, si può sfruttare il teorema di Ostrowski: se

$i) g \in C^1(I)$ dove I è un intorno del punto fisso $\alpha$

$\,ii) |g'(\alpha)|<1$

allora $\exists \delta > 0$ tale che se $|x_0 - \alpha| < \delta$ la successione converge ad $\alpha$. Si noti che se l'ipotesi ii) non è verificata, o c'è divergenza o non si può dir nulla (nel caso dell'uguaglianza). La velocità di convergenza aumenta con l'ordine di derivabilità.

Altri metodi

Il metodo delle corde e quello di Newton si possono vedere come casi particolari dell'iterazione di punto fisso, usando come funzioni di iterazione rispettivamente

$g(x) = x - \frac{b-a}{f(b)-f(a)}f(x)$

$g(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)}$

Voci correlate

• Calcolo di uno zero di una funzione
• Metodo delle corde
• Metodo delle tangenti
• Punto fisso
• Teorema delle contrazioni

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