Decomposizione di Schur

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In algebra lineare, la decomposizione di Schur o triangolazione di Schur è un importante procedimento di fattorizzazione di una matrice. Esso prende il nome dal matematico tedesco Issai Schur.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia A una matrice quadrata di numeri complessi; questa A può essere decomposta come

\mathbf{A}= \mathbf{Q} \mathbf{U} \mathbf{Q}^h

dove Q è una matrice unitaria, Qh denota la trasposta coniugata di Q e U denota una matrice triangolare superiore le cui entrate diagonali sono esattamente gli autovalori di A. La decomposizione di Schur non è unica.

Variante reale[modifica | modifica wikitesto]

Nel caso in cui A sia a valori reali posso ottenere una decomposizione alternativa, di sole matrici reali, del tipo

\mathbf{A}= \mathbf{Q} \mathbf{U'} \mathbf{Q}^t

Q è ancora una volta unitaria, Qt la trasposta di Q e U' una matrice triangolare a blocchi sulla diagonale. I blocchi di dimensione 1 sono costituiti dagli autovalori reali, i blocchi di dimensione 2 dalla coppia di autovalori complessi z e \bar{z} posti nella forma seguente:

 \begin{bmatrix}
Re(z) & Im(z)  \\
-Im(z) & Re(z) \\
\end{bmatrix}

Note[modifica | modifica wikitesto]

Se A è una matrice normale, allora U è ancora una matrice diagonale e i vettori colonna di Q sono gli autovettori di A e la decomposizione di Schur è chiamata decomposizione spettrale.

Inoltre, se A è definita positiva, la decomposizione di Schur di A coincide con la decomposizione ai valori singolari della matrice.

L'individuazione computazionale di tale decomposizione è un problema ben condizionato, a differenza della Forma canonica di Jordan.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • D.Bini, M.Capovani, O.Menchi. 'Metodi Numerici per l'Algebra Lineare'. Zanichelli, Bologna 1988.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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