Teoremi di Gerschgorin

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In matematica, i teoremi di Gershgorin sono alcuni teoremi sulla localizzazione degli autovalori di una matrice nel campo complesso. Il loro nome è dovuto al matematico bielorusso Semyon Aranovich Gershgorin.

Cerchi di Gershgorin[modifica | modifica sorgente]

Una definizione di basilare importanza nella comprensione di questi teoremi è quella di cerchio di Gershgorin.

Sia A una matrice \mathbb{C}^{n \times n}, scrivibile come A = [ a_{ij} ]; si consideri la riga i-esima di A, e più precisamente l'elemento diagonale a_{ii} e la somma dei moduli degli elementi fuori della diagonale:


R_{i} (A) = \sum_{j=1,j\neq i}^{n} |a_{ij}|.

Queste due quantità individuano il sottoinsieme del piano complesso:


K_{i} :=  \{ z \in \mathbb{C} \;\;\;\; t.c. \;\;\;\; |  z - \; a_{ii} | \leq R_{i} (A) \}

corrispondente ad un disco di raggio R_{i}(A) centrato in a_{ii}, che viene detto i-esimo cerchio di Gershgorin della matrice A.

Primo teorema di Gershgorin[modifica | modifica sorgente]

Sia A una matrice come sopra. Allora gli autovalori di A appartengono alla regione del piano complesso individuata dall'intersezione tra l'unione dei cerchi riga e l'unione dei cerchi colonna A. In formule:


\sigma (A) \subset
\bigcup_{i=1}^n K_{i}

Dimostrazione : Sia λ un autovalore di A e sia x = ( x_j ) l'autovettore corrispondente. Scegliamo i \in \{1, \dots, n\} in modo che x_i = \max_j  |x_j|. (Questo equivale a dire: scegliere i in modo che x_i sia la più grande (in valore assoluto) coordinata del vettore x) Allora |x_i| \geq 0 altrimenti x=0. Poiché x è un autovettore, A x = \lambda x e quindi:

 \sum_j a_{ij} x_j = \lambda x_i \quad \forall i \in \{1, \ldots, n\}.

Allora, scomponendo la somma otteniamo

 \sum_{j \neq i} a_{ij} x_j = \lambda x_i - a_{ii} x_i.

Possiamo dividere entrambi i membri per x_i (scegliendo i come sopra abbiamo che x_i \neq 0 ) e passando ai moduli otteniamo

 |\lambda - a_{ii}| = \left|\frac{\sum_{j\ne i} a_{ij} x_j}{x_i}\right| \le \sum_{j\ne i} |a_{ij}| = R_i

dove l'ultima disuguaglianza vale poiché

\left| \frac{x_j}{x_i} \right| \leq 1 \quad \text{per }j \neq i.

Secondo teorema di Gershgorin[modifica | modifica sorgente]

Detta M_{1} = \bigcup_{i=1}^k K_{i} \;e\; M_{2} = \bigcup_{i=k+1}^n K_{i}, se M_{1} \cap M_{2} = \emptyset allora esattamente k autovalori appartengono a M_{1} e i restanti n-k appartengono a M_{2}

Terzo teorema di Gershgorin[modifica | modifica sorgente]

Se la matrice A è irriducibile ed \exists \lambda autovalore di A contenuto in \partial \left( \bigcup_{i=1}^n K_{i}  \right) allora \lambda sta sulla frontiera di ogni K_{i}, \; i = 1,2, \dots n.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi numerici per l'algebra lineare, Zanichelli, Bologna, 1988.

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