Misura a valori di proiettore

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In matematica, in particolare in analisi funzionale, una misura a valori di proiettore è una funzione definita su un certo sottoinsieme di un insieme fissato i cui valori restituiti sono proiettori autoaggiunti su uno spazio di Hilbert.

Le misure a valori di proiettore sono usate per esprimere i risultati della teoria spettrale, come il teorema spettrale per operatori autoaggiunti.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia \Omega un sottoinsieme chiuso di \R. Si definisce misura a valori di proiettore un insieme di proiezioni ortogonali \{ P_\Omega \} che soddisfa le proprietà:[1]

  • P_\emptyset = 0 e P_{(-a,a)} = I per qualche a.
  • Sia \Omega una famiglia di insiemi tale che:
\Omega = \bigcup_{i=1}^\infty \Omega_i \qquad \Omega_i \cap \Omega_j = \emptyset \quad i \ne j
allora si ha:
P_\Omega = \lim_{N \to \infty} \sum_{i=1}^N P_{\Omega_i}
dove il limite è in senso forte.

Si tratta di una misura limitata, e dalla definizione segue l'ulteriore proprietà:

P_{\Omega_1}P_{\Omega_2}=P_{\Omega_1 \cap \Omega_2} \

Se si considera uno spazio topologico X sul quale è definita una sigma algebra di borel M, una misura a valori di proiettore è una funzione P_\Omega definita su M ed a valori nello spazio dei proiettori ortogonali definiti su uno spazio di Hilbert di dimensione finita H. In tal caso gli insiemi \{ \Omega_i \} utilizzati nella definizione sono gli elementi della sigma algebra di borel M, e si ha P_X = I .

Ad esempio, si consideri lo spazio di Hilbert H = L^2(X,\mu) , dove \mu è una misura di Borel. Si può definire una misura a valori di proiettore nel seguente modo:

(P_E \psi)(x) = \chi_E(x)\psi(x) \qquad \forall \psi \in L^2(X,\mu) \quad \forall E \in M

per quasi ogni x.

Integrazione rispetto ad una misura a valori di proiettore[modifica | modifica wikitesto]

Sia data una famiglia di insiemi misurabili mutuamente disgiunti E_i ed una funzione semplice:

s =\sum_{i=1}^n a_i \chi_{E_i} \quad a_i \in \C

dove \chi_{E_i} è la funzione indicatrice relativa all'insieme E_i per ogni i ed i numeri a_i sono disgiunti.

Si può definire l'integrale di s rispetto ad una misura a valori di proiettore P nel seguente modo:

\int_X s dP := \sum_{i=1}^n a_i P(E_i)

Si dimostra che l'estensione di tale operatore integrale dallo spazio delle funzioni semplici allo spazio di Banach delle funzioni f:X \to \C limitate e misurabili rispetto alla sigma algebra di Borel M è unica. Si definisce in questo modo l'operatore integrale positivo:

\int_E f(x) dP(x) := \int_X \chi_{E}f(x)dP(x) \quad E \in M

rispetto alla misura a valori di proiettore P:

P_E = \int_X \chi_{E}dP(x) \

Detto inoltre \mbox{supp}(P) il supporto di P, si dimostra che:

\int_X f(x) dP(x) = \int_{\mbox{supp}(P)} f(x) dP(x) \

Misura associata ad un operatore[modifica | modifica wikitesto]

Sia X uno spazio topologico sul quale è definita una sigma algebra di borel M, sia H uno spazio di Hilbert e P una misura a valori di proiettore. Per ogni \phi,\psi \in H il prodotto interno:

\mu_{\phi,\psi}(E) := (\phi, P_E \psi) = \left( \phi, \int_X \chi_E dP(x) \psi \right) \quad E \in M

rappresenta una misura di Borel complessa. In particolare, la misura \mu_{\phi}:= \mu_{\phi,\phi} viene detta misura spettrale associata a \phi.

Attraverso una misura del tipo di \mu_{\phi} si può definire l'operatore di integrazione rispetto ad una misura a valori di proiettore anche nel caso in cui f non sia limitata, a patto di utilizzare l'insieme:

\Delta_f := \{ \phi \in H : \int_X |f(x)|^2 d\mu_\phi(x) < +\infty \}

come dominio dell'applicazione:

\int_X f(x) dP(x) : \phi \to \int_X f(x) dP(x)\phi = \lim_{n\to \infty} \int_X f_n(x) dP(x)\phi

che definisce in questo modo un operatore lineare chiuso e limitato, che è l'integrale di f rispetto a P. L'insieme \Delta_f è un sottospazio denso in H, ed il secondo membro è caratterizzato dal fatto che la funzione f può essere vista come il limite di una successione f_n di funzioni misurabili e limitate convergente nella norma di L^2(X,\mu_\phi).

Sia f una funzione definita sul supporto di P tale che sia inoltre limitata e misurabile rispetto alla sigma algebra di Borel. Per il teorema di rappresentazione di Riesz esiste un unico operatore:

B := \int f(\lambda) d P_\lambda \

che soddisfa la relazione:

(\phi, B \phi) = \int f(\lambda)d\mu_\phi = \int f(\lambda) d (\phi, P_\lambda \phi) \quad \forall \phi \in H

dove d\mu_\phi = d (\phi, P_\lambda \phi) denota l'integrazione rispetto alla misura \mu_\phi = (\phi, P \phi).

Decomposizione spettrale di operatori normali e autoaggiunti[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi operatore normale, operatore autoaggiunto e diagonalizzabilità.

Sia A un operatore normale limitato definito su uno spazio di Hilbert H. Il teorema di decomposizione spettrale per operatori normali afferma che esiste un'unica misura a valori di proiettore P^A tale per cui:

A = \int_{\sigma(A)} z dP^A(x,y) \qquad z := (x,y) \to x+iy \in \C \quad (x,y) \in \R^2

dove \sigma(A) = \mbox{supp}(P^A) è lo spettro di A. Si dice che P^A è la misura a valori di proiettore associata ad A.

In particolare, se A è un operatore autoaggiunto si può definire una misura a valori di proiettore limitata:

P^A(\Omega) = \chi_\Omega(A) \

definita sullo spettro \sigma(A) di A. Tale misura può essere univocamente associata ad A nel seguente modo:

 (\phi, f(A) \psi) := \int_{\sigma(A)} f(\lambda) d (\phi, P^A (\lambda) \psi) \quad \forall \phi,\psi \in H

per ogni funzione misurabile limitata f, e in tal caso si ha:

A = \int_{\sigma(A)} \lambda d P^A \qquad f(A) = \int_{\sigma(A)} f(\lambda) d P^A

La formula a sinistra è detta diagonalizzazione di A.[2]

Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale) A a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare A tramite una misura a valori di proiettore limitata P^A allora P^A è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad A. Ogni operatore limitato autoaggiunto A può dunque essere messo in corrispondenza biunivoca con una misura a valori di proiettore limitata P^A.

Operatori autoaggiunti non limitati[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Trasformata di Cayley.

Si consideri un operatore autoaggiunto A non limitato. Attraverso la trasformata di Cayley U(A) associata ad A:

 U(A) = (A - \bold{i}I) (A + \bold{i}I)^{-1} \qquad A = \bold{i}(I + U(A)) (I - U(A))^{-1}

è possibile definire, a partire da A, una misura a valori di proiettore P^{U(A)} nel modo seguente:

P^A(\Omega) := P^{U(A)}(U(\Omega)) \qquad \Omega \subset \sigma(A)

L'insieme \Omega è un borelliano contenuto nello spettro (reale) \sigma(A) di A, e U(\Omega) è il risultato ottenuto applicando la trasformata di Cayley su \C.

Si dimostra che se la funzione identità, definita su \sigma(A), è di classe L^2 rispetto alla misura (x,P^A(\Omega)x), allora P^{U(A)} definisce una misura a valori di proiettore su \sigma(A).

In particolare, è possibile scrivere:

A = \int_{\sigma(A)} \lambda d P^A (\lambda)

Anche nel caso di A non limitato la corrispondenza tra A ed una misura a valori di proiettore è biunivoca.

Proiezioni e spettro di un operatore[modifica | modifica wikitesto]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi Spettro (matematica) e Spettro essenziale.

Le proiezioni spettrali sono uno strumento che permette di caratterizzare le proprietà dello spettro \sigma(A) di un operatore autoaggiunto A. In primo luogo si dimostra che un numero \lambda appartiene a \sigma(A) se e solo se per ogni \varepsilon > 0 è soddisfatta la seguente condizione:[3]

P_{(\lambda - \varepsilon, \lambda + \varepsilon)}(A) \ne 0

Un tale approccio permette inoltre di suddividere lo spettro in due sottoinsiemi:

  • Lo spettro essenziale di A è l'insieme \sigma_{ess}(A) dei numeri \lambda tali per cui per ogni \varepsilon > 0 il rango di P_{(\lambda - \varepsilon, \lambda + \varepsilon)}(A) ha dimensione infinita. Si dimostra che tale insieme è chiuso. In modo equivalente, \lambda appartiene a \sigma_{ess}(A) se e solo se è un autovalore che ha molteplicità infinita.
  • Si definisce spettro discreto di A l'insieme \sigma_{disc}(A) dei numeri \lambda tali per cui per ogni \varepsilon > 0 il rango di P_{(\lambda - \varepsilon, \lambda + \varepsilon)}(A) ha dimensione finita. In modo equivalente, \lambda appartiene a \sigma_{disc}(A) se e solo se è un punto isolato di \sigma(A) ed è un autovalore che ha molteplicità finita.

Estensioni delle misure a valori di proiettore[modifica | modifica wikitesto]

Se \pi è una misura a valori di proiettore su (X, M), allora la mappa:

 \mathbf{1}_A \mapsto \pi(A)

estende a mappa lineare su uno spazio vettoriale di funzioni gradino su X.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 235
  2. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 234
  3. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 236

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) G. W. Mackey, The Theory of Unitary Group Representations, The University of Chicago Press, 1976
  • (EN) G. Teschl, Mathematical Methods in Quantum Mechanics with Applications to Schrödinger Operators, [1], American Mathematical Society, 2009.
  • (EN) V. S. Varadarajan, Geometry of Quantum Theory V2, Springer Verlag, 1970.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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