Matrice di Gram

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Nella teoria dei sistemi e in algebra lineare la matrice di Gram di un insieme di funzioni \{l_i(\cdot),\,i=1,\dots,n\} è una matrice simmetrica reale G=[G_{ij}], dove G_{ij}=\int_{t_0}^{t_f} l_i(\tau)l_j(\tau)\, d\tau .

La matrice di Gram, il cui nome è legato al matematico danese Jørgen Pedersen Gram, può essere sfruttata per verificare l'indipendenza lineare delle funzioni: le funzioni sono linearmente indipendenti se e solo se G è invertibile. Il suo determinante è noto come determinante di Gram.

Se con E si indica uno spazio prehilbertiano e con x_1,\dots, x_n una successione di n vettori di E la matrice di Gram associata è la matrice simmetrica (x_i|x_j).

Il determinante di Gram è il determinante della matrice

G(x_1,\dots, x_n)=\begin{vmatrix} (x_1|x_1) & (x_1|x_2) &\dots & (x_1|x_n)\\
 (x_2|x_1) & (x_2|x_2) &\dots & (x_2|x_n)\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
 (x_n|x_1) & (x_n|x_2) &\dots & (x_n|x_n)\end{vmatrix}

Tutti gli autovalori di una matrice di Gram sono reali e non negativi e la matrice è quindi semidefinita positiva.

Proprietà e applicazioni[modifica | modifica sorgente]

Interpretazione geometrica[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


matematica Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica