Matrice di Gram

Nella teoria dei sistemi e in algebra lineare la matrice di Gram di un insieme di funzioni $\{l_i(\cdot),\,i=1,\dots,n\}$ è una matrice simmetrica reale $G=[G_{ij}]$, dove $G_{ij}=\int_{t_0}^{t_f} l_i(\tau)l_j(\tau)\, d\tau$.

La matrice di Gram, il cui nome è legato al matematico danese Jørgen Pedersen Gram, può essere sfruttata per verificare l'indipendenza lineare delle funzioni: le funzioni sono linearmente indipendenti se e solo se G è invertibile. Il suo determinante è noto come determinante di Gram.

Se con E si indica uno spazio prehilbertiano e con $x_1,\dots, x_n$ una successione di n vettori di E la matrice di Gram associata è la matrice simmetrica $(x_i|x_j)$.

Il determinante di Gram è il determinante della matrice

$G(x_1,\dots, x_n)=\begin{vmatrix} (x_1|x_1) & (x_1|x_2) &\dots & (x_1|x_n)\\ (x_2|x_1) & (x_2|x_2) &\dots & (x_2|x_n)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ (x_n|x_1) & (x_n|x_2) &\dots & (x_n|x_n)\end{vmatrix}$

Tutti gli autovalori di una matrice di Gram sono reali e non negativi e la matrice è quindi semidefinita positiva.

Voci correlate

• Matrice gramiana di controllabilità
• Matrice gramiana di osservabilità

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