Matrice di Hankel

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Nell'algebra lineare, una matrice di Hankel è una matrice quadrata con diagonali (a pendenza positiva) costanti, ad esempio;


\begin{bmatrix}
a & b & c & d & e \\
b & c & d & e & f \\
c & d & e & f & g \\

d & e & f & g & h \\
e & f & g & h & i \\
\end{bmatrix}


In termini matematici:

a_{i,j} = a_{i-1,j+1}

La matrice di Hankel è strettamente connessa alla matrice di Toeplitz: infatti si può ottenere invertendo l'ordine delle sue righe o invertendo l'ordine delle sue colonne.

Un operatore di Hankel su uno spazio di Hilbert è un operatore rappresentato in una base ortonormale da una matrice di Hankel di dimensione infinita  (a_{i,j})_{i,j \ge 0},  dove   a_{i,j}  dipende solo da  i+j. La matrice di Hankel prende il nome dal matematico tedesco Hermann Hankel (1839-1873).


Trasformata di Hankel[modifica | modifica sorgente]

La trasformata di Hankel è il nome che spesso viene dato alla trasformazione di una sequenza, dove la sequenza trasformata corrisponde al determinante della matrice di Hankel, cioè la sequenza  \{h_n\}  è la trasformata di Hankel della sequenza \{b_n\}  dove


h_n = \det (b_{i+j})_{0 \le i,j \le n}


Ora,  a_{i,j}=b_{i+j}  è la matrice di Hankel della sequenza  \{b_n\}. La trasformata di Hankel è invariante rispetto alla trasformata binomiale di una sequenza. Cioè, se si scrive


c_n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} b_k


come trasformata binomiale della sequenza  \{b_n\},  allora risulta


\det (b_{i+j})_{0 \le i,j \le n} = \det (c_{i+j})_{0 \le i,j \le n}


Matrici di Hankel per sistemi di identificazione[modifica | modifica sorgente]

Le matrici di Hankel vengono formate quando, nota una sequenza di dati in uscita, si richiede la realizzazione di un sottostante spazio-condizione o di un modello di Markov nascosto. La scomposizione a singolo valore della Matrice di Hankel fornisce un mezzo per il calcolo delle matrici  A,   B   e  C,   che definiscono la realizzazione dello stato.


Polinomi ortogonali su una linea reale[modifica | modifica sorgente]

Matrici di Hankel positive e problema del momento di Hamburger[modifica | modifica sorgente]

Polinomi ortogonali su una linea reale[modifica | modifica sorgente]

Modello tridiagonale degli operatori di Hankel positivi[modifica | modifica sorgente]

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

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