Matrice di Hankel

Nell'algebra lineare, una matrice di Hankel è una matrice quadrata con diagonali (a pendenza positiva) costanti, ad esempio;

$\begin{bmatrix} a & b & c & d & e \\ b & c & d & e & f \\ c & d & e & f & g \\ d & e & f & g & h \\ e & f & g & h & i \\ \end{bmatrix}$

In termini matematici:

$a_{i,j} = a_{i-1,j+1}$

La matrice di Hankel è strettamente connessa alla matrice di Toeplitz: infatti si può ottenere invertendo l'ordine delle sue righe o invertendo l'ordine delle sue colonne.

Un operatore di Hankel su uno spazio di Hilbert è un operatore rappresentato in una base ortonormale da una matrice di Hankel di dimensione infinita  $(a_{i,j})_{i,j \ge 0}$,  dove  $a_{i,j}$  dipende solo da  $i+j$. La matrice di Hankel prende il nome dal matematico tedesco Hermann Hankel (1839-1873).

Trasformata di Hankel

La trasformata di Hankel è il nome che spesso viene dato alla trasformazione di una sequenza, dove la sequenza trasformata corrisponde al determinante della matrice di Hankel, cioè la sequenza  $\{h_n\}$  è la trasformata di Hankel della sequenza $\{b_n\}$  dove

$h_n = \det (b_{i+j})_{0 \le i,j \le n}$

Ora,  $a_{i,j}=b_{i+j}$  è la matrice di Hankel della sequenza  $\{b_n\}$. La trasformata di Hankel è invariante rispetto alla trasformata binomiale di una sequenza. Cioè, se si scrive

$c_n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} b_k$

come trasformata binomiale della sequenza  $\{b_n\}$,  allora risulta

$\det (b_{i+j})_{0 \le i,j \le n} = \det (c_{i+j})_{0 \le i,j \le n}$

Matrici di Hankel per sistemi di identificazione

Le matrici di Hankel vengono formate quando, nota una sequenza di dati in uscita, si richiede la realizzazione di un sottostante spazio-condizione o di un modello di Markov nascosto. La scomposizione a singolo valore della Matrice di Hankel fornisce un mezzo per il calcolo delle matrici  $A$,   $B$   e  $C$,   che definiscono la realizzazione dello stato.

Voci correlate

• Hermann Hankel
• Problema del momento di Hamburger

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