Matrice di Toeplitz

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In algebra lineare, una matrice di Toeplitz o matrice a diagonali costanti è una matrice in cui ogni diagonale discendente da sinistra a destra è costante. Ad esempio, la seguente matrice è una matrice di Toeplitz:



\begin{bmatrix}
a & b & c & d & k \\
f & a & b & c & d \\
g & f & a & b & c \\
h & g & f & a & b \\
j & h & g & f & a 
\end{bmatrix}

Queste matrici prendono il loro nome dal matematico tedesco Otto Toeplitz (1881-1940).

Ogni matrice  A  di aspetto  n\times n   e della forma seguente



A =
\begin{bmatrix}
  a_{0} & a_{-1} & a_{-2} & \ldots & \ldots  &a_{-n+1}  \\
  a_{1} & a_0  & a_{-1} &  \ddots   &  &  \vdots \\
  a_{2}    & a_{1} & \ddots  & \ddots & \ddots& \vdots \\ 
 \vdots &  \ddots & \ddots &   \ddots  & a_{-1} & a_{-2}\\
 \vdots &         & \ddots & a_{1} & a_{0}&  a_{-1} \\
a_{n-1} &  \ldots & \ldots & a_{2} & a_{1} & a_{0}
\end{bmatrix}


è una matrice di Toeplitz.

Indicando con  a_{ij}  l'elemento della matrice  A  della riga  i  e della colonna  j  si ottiene

a_{i,j} = a_{i-1,j-1}.


Proprietà[modifica | modifica sorgente]

In generale, un'equazione matriciale

Ax=b

è il comune problema di soluzione di un sistema di n equazioni lineari. Se  A  è una matrice di Toeplitz, allora il sistema ricade in un caso particolare (ha solo  2n - 1  gradi di libertà, invece di  n^{2}). Ci possiamo quindi aspettare che la soluzione di un sistema di Toeplitz sia ottenibile con un procedimento specifico e semplice.

Ciò può essere verificato dalla trasformazione

AU_n-U_mA,

che ha due righe, dove  U_k  è l'operatore di riduzione. Nello specifico, si può con un semplice calcolo dimostrare che



AU_n-U_mA=
\begin{bmatrix}
a_{-1} & \cdots & a_{-n+1} & 0 \\
\vdots &        &          & -a_{-n+1} \\
\vdots &        &          & \vdots \\
 0     & \cdots &          & -a_{n-n-1}
\end{bmatrix}

dove si intende che gli spazi vuoti nella matrice contengano degli zeri.

Note[modifica | modifica sorgente]

Queste matrici vengono impiegate nella scienza del computer perché può essere dimostrato che l'addizione di due matrici di Toeplitz può essere fatta in un tempo   O(n),  una matrice di Toeplitz può essere moltiplicata per un vettore in un tempo O(nlog(n)),  anche la moltiplicazione di due matrici di Toeplitz può essere eseguita in tempo O(nlog(n)).

I sistemi di Toeplitz della forma  Ax=b  possono essere risolti con l'algoritmo di Levinson-Durbin in un tempo O(n^2). È stato dimostrato che le varianti di questo algoritmo sono debolmente stabili nel senso di James Bunch (ad esempio, esse presentano stabilità per sistemi lineari dipendenti).

Le matrici di Toeplitz sono anche strettamente connesse con le serie di Fourier, perché l'operatore di moltiplicazione per un polinomio trigonometrico, ridotta a uno spazio a dimensione finita, può essere rappresentato da una matrice di questo genere.

Se una matrice di Toeplitz possiede anche la proprietà che  a_i=a_{i+n} , allora è una matrice circolante.

Le matrici di Toeplitz sono matrici persimmetriche. Le matrici di Toeplitz simmetriche sono a simmetria centrale.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]


Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]


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