Identità di Parseval

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In matematica, in particolare in analisi funzionale, l'identità di Parseval o identità di Bessel-Parseval è un importante risultato che riguarda la sommabilità della serie di Fourier di una funzione. Si tratta di un'uguaglianza che adatta il teorema di Pitagora a particolari spazi funzionali a dimensione infinita.

Informalmente, l'identità di Parseval stabilisce che la somma dei quadrati dei coefficienti di Fourier di una funzione è pari all'integrale del quadrato della funzione:

\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 \, dx

dove i coefficienti di Fourier c_n di f sono dati da:

c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-inx} \, dx

Più in generale, il risultato vale anche se f è una funzione quadrato sommabile o appartenente allo spazio L2[−π,π].

Un risultato simile è il teorema di Plancherel, che afferma che l'integrale del quadrato della trasformata di Fourier di una funzione è uguale all'integrale del quadrato della funzione stessa. In una dimensione, per f \in L^2(\R) si ha dunque:

\int_{-\infty}^\infty |\hat{f}(\xi)|^2\,d\xi = \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \, dx

L'identità[modifica | modifica sorgente]

Si consideri uno spazio normato separabile H, ad esempio uno spazio di Hilbert, e sia B = (e_n)_n un sistema ortonormale rispetto al prodotto interno \langle , \rangle definito in H. L'identità di Parseval afferma che per ogni x \in H:

\|x\|^2=\sum_n | \langle x,e_n \rangle |^2

dove il prodotto interno \langle x,e_n \rangle definisce l'n-esimo coefficiente di Fourier di x rispetto alla base B.

Se e_n è una base soltanto ortogonale:

\|x\|^2=\sum_n \left| \frac {\langle x,e_n \rangle}{\langle e_n,e_n \rangle} \right|^2 \| e_n \|^2

L'identità è una generalizzazione del teorema di Pitagora, il quale stabilisce che la somma dei quadrati delle componenti di un vettore in una base ortonormale è pari al quadrato della lunghezza del vettore stesso.

Se H coincide con L^2[-\pi ,\pi] e e_n = e^{-inx}, dove n \in \Z, si ritrova il caso della serie di Fourier mostrato sopra con e_n che è detto sistema trigonometrico. In particolare, la validità dell'identità di Parseval per un determinato x \in H garantisce la convergenza della rispettiva serie di Fourier a x nella norma di H, e la validità dell'identità per tutti gli x \in H garantisce che e_n sia un sistema ortonormale completo. Se H è uno spazio di Hilbert cioè comporta data una base ortogonale l'identità di Parseval valga per ogni elemento dello spazio.

L'identità di Parseval e la mutua ortogonalità dei sottospazi generati dai vettori e_n implicano anche che:

x=\sum_{n=1}^{\infty}\langle{}x,e_n\rangle{}e_n

cioè che ogni elemento è la somma della sua serie di Fourier. Il teorema di Parseval per le serie di Fourier ne è un caso particolare.

Spazi prehilbertiani[modifica | modifica sorgente]

L'identità di Parseval nella sua veste più generale considera vettori (funzioni) in uno spazio prehilbertiano H. Se B è un insieme ortonormale di H, detto totale nel senso che lo span lineare di B è denso in H, allora:

\|x\|^2=\langle x,x\rangle=\sum_{e\in B}\left|\langle x,e\rangle\right|^2

Nel caso in cui B non sia totale l'uguaglianza è sostituita dalla disuguaglianza \ge e quindi la conclusione coincide con quella della disuguaglianza di Bessel. La dimostrazione di questa versione generale fa uso del teorema di Riesz-Fischer.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) E. Hewitt, K.R. Stromberg, Real and abstract analysis , Springer (1965)

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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