Identità di Parseval

In matematica, l'identità di Parseval (o identità di Bessel-Parseval) è un'uguaglianza di analisi funzionale. Non è altro che il teorema di Pitagora per particolari spazi funzionali a dimensione infinita.

Essa afferma che, se B è una base ortonormale totale di uno spazio di Hilbert H, cioè lo span lineare di B è denso in H, allora per ogni x

$\|x\|^2=\sum_{e \in B}\langle{}x,e\rangle{}^2$

Nel caso in cui B non sia totale, l'uguaglianza è sostituita dalla disuguaglianza ≥ e quindi la conclusione coincide con quella della disuguaglianza di Bessel.

Supponiamo che B sia numerabile, B = (e_n)_n, e sia M_n il sottospazio generato da e_n. Allora l'identità di Parseval e la mutua ortogonalità dei sottospazi implicano che $x=\sum_{n=1}^{\infty}\langle{}x,e_n\rangle{}e_n$, cioè che ogni elemento è la somma della sua serie di Fourier.

Il teorema di Parseval per le serie di Fourier ne è un caso particolare.

Voci correlate

• Disuguaglianza di Bessel
• Serie di Fourier

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