Disuguaglianza di Bessel

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In analisi funzionale, la disuguaglianza di Bessel, il cui nome è dovuto a Friedrich Bessel, è una proprietà dei coefficienti di Fourier rispetto ad un sistema ortonormale di un elemento x in uno spazio di Hilbert. Una forma più forte della disuguaglianza è fornita dal teorema di Riesz-Fischer.

Sia H uno spazio di Hilbert, e e_1, e_2, \dots sia un sistema ortonormale in H. Allora, per qualsiasi x in H si ha che:

\sum_{k=1}^{\infty}\left\vert\left\langle x,e_k\right\rangle \right\vert^2 \le \left\Vert x\right\Vert^2

dove \langle , \rangle denota il prodotto interno dello spazio di Hilbert H. Se si definisce:

x' = \sum_{k=1}^{\infty}\left\langle x,e_k\right\rangle e_k

la disuguaglianza di Bessel ci dice che la serie converge.

Per una successione ortonormale completa (ovvero una successione ortonormale che è una base ortonormale), vale l'identità di Parseval, ovvero vale l'uguaglianza al posto della disuguaglianza, ed inoltre:

x = \sum_{k=1}^{\infty}\left\langle x,e_k\right\rangle e_k

La disuguaglianza di Bessel segue dall'identità:

0 \le \| x - \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k\|^2 = \|x\|^2 - 2 \sum_{k=1}^n |\langle x, e_k \rangle |^2 + \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2 = \|x\|^2 - \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2

che vale per qualsiasi n, escluso n minore di -1.

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • (EN) K. Yosida, Functional analysis , Springer (1980) pp. Chapt. 8, Sect. 4; 5
  • (EN) E.W. Cheney, Introduction to approximation theory , Chelsea, reprint (1982) pp. 203ff
  • (EN) P.J. Davis, Interpolation and approximation , Dover, reprint (1975) pp. 108–126
  • (EN) E. Hewitt, K.R. Stromberg, Real and abstract analysis , Springer (1965)

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