Spazio prehilbertiano

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In matematica, lo spazio prehilbertiano o spazio hermitiano è uno spazio vettoriale reale o complesso nel quale è definito un prodotto interno.

Si tratta di una struttura algebrica che fa da collegamento tra lo spazio vettoriale semplice e lo spazio di Hilbert, che è uno spazio prehilbertiano completo, tale cioè che la metrica indotta dal prodotto scalare sia completa.

Definizione[modifica | modifica sorgente]

Uno spazio prehilbertiano è una coppia (H,\langle\cdot,\cdot\rangle), dove H è uno spazio vettoriale reale o complesso e \langle\cdot,\cdot\rangle è un prodotto interno.

Sia V uno spazio vettoriale complesso o reale. Un prodotto interno sul campo \mathbb{F} (definito come \mathbb{C} o \mathbb{R}) è una mappa:[1]

 \phi: V\times V \to \mathbb{F}

che associa ad ogni coppia di elementi \mathbf v e \mathbf w \in V lo scalare \phi(\mathbf v,\mathbf w) \in \mathbb{F}.

Si tratta di una forma sesquilineare simmetrica definita positiva che soddisfa i seguenti assiomi per a \in \mathbb{F} e \mathbf x, \mathbf y, \mathbf z, \mathbf w \in V:

\phi(\mathbf x + \mathbf y, \mathbf z + \mathbf w) = \phi(\mathbf x, \mathbf z) + \phi(\mathbf x, \mathbf w) + \phi(\mathbf y, \mathbf z) + \phi(\mathbf y, \mathbf w)
\phi(\mathbf x, a \mathbf y) = a \phi(\mathbf x,\mathbf y)
\phi(a \mathbf x, \mathbf y) = \bar{a} \phi(\mathbf x, \mathbf y)
\phi(\mathbf w,\mathbf z) = \overline{\phi(\mathbf z,\mathbf w)}
  • definita positiva:
 \phi (\mathbf z, \mathbf z) > 0 \quad \mathbf z \ne 0

In altre parole, per ogni \mathbf z \in V fissato, le applicazioni

  \mathbf w \mapsto \phi(\mathbf w, \mathbf z) \qquad \ \mathbf w \mapsto \phi(\mathbf z,\mathbf w)

sono rispettivamente lineare e antilineare.

In fisica è convenzione parlare di forma hermitiana in presenza di un funzionale lineare nel secondo argomento e anti-lineare nel primo, cioè all'opposto della convenzione generalmente in uso tra i matematici. Questo perché in meccanica quantistica, nella notazione bra-ket (che porta grosse somiglianze con un prodotto scalare), per vari motivi è più comodo considerare i vettori nella seconda posizione ("ket") e i loro coniugati nella prima ("bra"). Presso alcuni autori si opera la distinzione che \langle\cdot,\cdot\rangle è inteso nel senso matematico e \langle\cdot|\cdot\rangle nel senso fisico.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Hoffman, Kunze, op. cit., Pag. 271

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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