Spazio prehilbertiano

In matematica, lo spazio prehilbertiano o spazio hermitiano è uno spazio vettoriale reale o complesso nel quale è definito un prodotto interno.

Si tratta di una struttura algebrica che fa da collegamento tra lo spazio vettoriale semplice e lo spazio di Hilbert, che è uno spazio prehilbertiano completo, tale cioè che la metrica indotta dal prodotto scalare sia completa.

Definizione

Uno spazio prehilbertiano è una coppia $(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$, dove $H$ è uno spazio vettoriale reale o complesso e $\langle\cdot,\cdot\rangle$ è un prodotto interno.

Sia $V$ uno spazio vettoriale complesso o reale. Un prodotto interno sul campo $\mathbb{F}$ (definito come $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$) è una mappa:

$\phi: V\times V \to \mathbb{F}$

che associa ad ogni coppia di elementi $\mathbf v$ e $\mathbf w \in V$ lo scalare $\phi(\mathbf v,\mathbf w) \in \mathbb{F}$.

Si tratta di una forma sesquilineare simmetrica definita positiva che soddisfa i seguenti assiomi per $a \in \mathbb{F}$ e $\mathbf x, \mathbf y, \mathbf z, \mathbf w \in V$:

• linearità su una componente:

$\phi(\mathbf x + \mathbf y, \mathbf z + \mathbf w) = \phi(\mathbf x, \mathbf z) + \phi(\mathbf x, \mathbf w) + \phi(\mathbf y, \mathbf z) + \phi(\mathbf y, \mathbf w)$

$\phi(\mathbf x, a \mathbf y) = a \phi(\mathbf x,\mathbf y)$

• antilinearità sull'altra:

$\phi(a \mathbf x, \mathbf y) = \bar{a} \phi(\mathbf x, \mathbf y)$

• simmetria coniugata:

$\phi(\mathbf w,\mathbf z) = \overline{\phi(\mathbf z,\mathbf w)}$

• definita positiva:

$\phi (\mathbf z, \mathbf z) > 0 \quad \mathbf z \ne 0$

In altre parole, per ogni $\mathbf z \in V$ fissato, le applicazioni

$\mathbf w \mapsto \phi(\mathbf w, \mathbf z) \qquad \ \mathbf w \mapsto \phi(\mathbf z,\mathbf w)$

sono rispettivamente lineare e antilineare.

In fisica è convenzione parlare di forma hermitiana in presenza di un funzionale lineare nel secondo argomento e anti-lineare nel primo, cioè all'opposto della convenzione generalmente in uso tra i matematici. Questo perché in meccanica quantistica, nella notazione bra-ket (che porta grosse somiglianze con un prodotto scalare), per vari motivi è più comodo considerare i vettori nella seconda posizione ("ket") e i loro coniugati nella prima ("bra"). Presso alcuni autori si opera la distinzione che $\langle\cdot,\cdot\rangle$ è inteso nel senso matematico e $\langle\cdot|\cdot\rangle$ nel senso fisico.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992. ISBN 88-339-5035-2
• (EN) Kenneth Hoffman; Ray Kunze, Linear Algebra, 2^a ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971. ISBN 01-353-6821-9

Voci correlate

• Spazio euclideo
• Forma sesquilineare
• Prodotto scalare
• Spazio completo
• Spazio di Hilbert
• Spazio euclideo

Collegamenti esterni

• (EN) V.I. Lomonosov, "Pre-Hilbert space" SpringerLink Encyclopaedia of Mathematics (2001)

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