Teorema di Riesz-Fischer

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In matematica, in particolare in analisi reale, il teorema di Riesz–Fischer stabilisce che in uno spazio completo ogni successione a quadrato sommabile definisce una funzione quadrato sommabile. In particolare, il teorema determina le condizioni per cui gli elementi di una successione in l^2 sono i coefficienti di Fourier di un qualche vettore di L^2. Dal teorema segue inoltre che una funzione è a quadrato integrabile se e solo se la serie dei coefficienti di Fourier converge nello spazio l^2.

A causa dell'importanza del fatto che L^2 sia un insieme completo, a volte con "teorema di Riesz–Fischer" si denota il teorema che ne stabilisce la completezza stessa.[1]

Il teorema è stato scoperto indipendentemente dal matematico ungherese Frigyes Riesz e dal matematico austriaco Ernst Fischer nel 1907, ed è una forma più forte della disuguaglianza di Bessel. Si può adoperare per dimostrare l'identità di Parseval per le serie di Fourier.

Il teorema[modifica | modifica sorgente]

Sia \{ u_\alpha : \alpha \in A \} un sistema ortonormale di polinomi in uno spazio di Hilbert H e sia \phi_\alpha \in l^2(A) una successione. Allora esiste un unico vettore f \in H tale che gli elementi della successione siano i coefficienti di Fourier di f:[2]

\phi_\alpha = (f, u_\alpha)

dove (,) è un prodotto interno. La successione definisce quindi una funzione f in L^2.

In modo equivalente, dato \{ u_\alpha \} \in L^2([a,b]), l'appartenenza di \phi_\alpha all'insieme delle successioni a quadrato sommabili comporta l'esistenza di una funzione f tale che:

 \int_a^b f(x) u_\alpha(x) \mathrm{d}x = \phi_\alpha

per ogni \alpha.

Conseguenze[modifica | modifica sorgente]

Il teorema implica che se l'N-esima somma parziale della serie di Fourier corrispondente a una funzione f è data da:

S_N f(x) = \sum_{n=-N}^{N} F_n \,e^{inx}

dove F_n è l'n-esimo coefficiente di Fourier:[3]

F_n =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}\,dx

allora:

\lim_{n \to \infty} \left \Vert S_n f - f \right \| = 0

dove:

\left \Vert g \right \| = \int_{-2 \pi}^{2 \pi} g^2\, dx

è la norma-L^2

Viceversa, se \{ a_n \} è una successione bilatera di numeri complessi, ossia il suo indice spazia da -\infty a +\infty, tale che:

\sum_{n=-\infty}^\infty \left | a_n \right \vert^2 < \infty

allora esiste una funzione f a quadrato integrabile tale che i valori a_n sono i coefficienti di Fourier di f.

Completezza di Lp[modifica | modifica sorgente]

Exquisite-kfind.png Per approfondire, vedi spazio Lp.

La dimostrazione che lo spazio L^p è completo si basa sui teoremi che caratterizzano la convergenza delle serie di funzioni integrabili secondo Lebesgue. Quando 1 \le p \le \infty la disuguaglianza di Minkowski implica che L^p è uno spazio normato. Per provare che L^p è completo, cioè che è uno spazio di Banach, è sufficiente provare che ogni serie di funzioni \sum u_n in L^p(\mu), con \mu che può essere la misura di Lebesgue, tale che:

 \sum \|u_n\|_p < \infty

converge nella norma di L^p a qualche funzione f \in L^p(\mu). Per p \le \infty, la disuguaglianza di Minkowski e il teorema della convergenza monotona implicano che:

 \int \Bigl( \sum_{n=0}^\infty |u_n| \Bigr)^p \, \mathrm{d}\mu \le \Bigl( \sum_{n=0}^{\infty} \|u_n\|_p \Bigr)^p< \infty

e quindi:

 f = \sum_{n=0}^\infty u_n

è definita quasi ovunque rispetto a \mu e appartiene a L^p(\mu). Il teorema della convergenza dominata è allora sfruttato per mostrare che la somma parziale della serie converge a f nella norma di L^p:

 \int \left| f - \sum_{k=0}^{n} u_k \right|^p \, \mathrm{d}\mu \le \int \left( \sum_{\ell > n} |u_\ell| \right)^p \, \mathrm{d}\mu \rightarrow 0 \text{ per } n \rightarrow \infty

Il caso 0 \le p \le 1 richiede alcune modifiche a causa del fatto che la p-norma non è più subadditiva. Si comincia con l'assunzione che:

 \sum \|u_n\|_p^p < \infty

e si usa ripetutamente il fatto che:

\left|\sum_{k=0}^n u_k \right|^p \le \sum_{k=0}^n |u_k|^p \text{ per } p<1

Il caso p = \infty si riduce a una semplice questione riguardante la convergenza uniforme al di fuori di un insieme di misura nulla rispetto alla misura \mu.

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ Reed, Simon, op. cit., Pag. 18
  2. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 85
  3. ^ W. Rudin, op. cit., Pag. 92

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0070542341.
  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0125850506.
  • (EN) Beals, Richard (2004). Analysis: An Introduction. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-60047-2.
  • (EN) John Horváth. On the Riesz-Fischer theorem (PDF).

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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