Numero di Pisot-Vijayaraghavan

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In matematica, il numero di Pisot-Vijayaraghavan (detto anche numero di Pisot oppure numero PV) è un intero algebrico α che è reale e maggiore di 1, ma tale che i suoi elementi coniugati sono tutti minori di 1 in valore assoluto.

Se ad esempio α è un irrazionale quadratico, esso ha un unico coniugato α′, ottenuto cambiando il segno della radice quadrata in α da

\alpha = a + b \sqrt d

con a and b entrambi interi oppure entrambi la metà di un numero dispari, si ottiene il coniugato

\alpha' = a - b \sqrt d

In questo caso si hanno le due condizioni

\alpha > 1
-1 < \alpha'< 1

che sono soddisfatte dal numero aureo φ. Abbiamo infatti

\phi = \frac{1 + \sqrt 5}{2} > 1
\phi' = \frac{1 - \sqrt 5} 2 = \frac{-1}\phi .

Nel caso i coniugati siano non maggiori di 1, e uno di essi abbia valore assoluto esattamente 1, il numero è detto numero di Salem.

Le caratteristiche generali per i numeri di Pisot sono state studiate inizialmente da G. H. Hardy in relazione a un problema di approssimazione diofantea. Il suo lavoro è stato proseguito da Tirukkannapuram Vijayaraghavan (30 novembre 1902 - 20 aprile 1955), un matematico indiano della regione del Madras che si trasferì a metà degli anni venti per lavorare con Hardy. La stesse condizioni appaiono anche in alcuni problemi sulle serie di Fourier, e vennero studiate da Charles Pisot. Il nome usato comunemente per riferirsi a questi numeri deriva da entrambi gli autori.

I numeri di Pisot-Vijayaraghavan possono essere usati per generare quasi-interi: la potenza n-sima di un numero di Pisot "si avvicina a un intero" al tendere di n ad infinito. Ad esempio, si considerino le potenze di \phi: abbiamo \phi^{21} = 24476.0000409, e l'effetto può essere ancora più pronunciato per i numeri di Pisot-Vijayaraghavan generati da equazioni di grado superiore.

Questa proprietà deriva dal fatto che per ogni n la somma delle potenze n-sime di un intero algebrico x e dei suoi coniugati è un numero intero. Se x è un numero di Pisot, le potenze n-sime degli altri coniugati tendono a 0 per n che tende a infinito.

Il più piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan è la radice reale dell'equazione x^3 - x - 1: questo numero (approssimativamente 1.324718) è noto anche come numero di plastica . "Numero d'argento" invece è la soluzione positiva dell'equazione di secondo grado: x2 -2x -1 = 0, uguale a :\ 1 + \sqrt 2, irrazionale algebrico[1].

Vi sono infiniti numeri di Pisot-Vijayaraghavan: il punto di accumulazione di valore minimo è il rapporto aureo \phi = \frac{1 + \sqrt 5}{2} \approx 1.618033.

Tabella dei numeri di Pisot[modifica | modifica wikitesto]

Ecco i 38 numeri di Pisot minori di 1.618, in ordine crescente.

Valore Radice di...
1 1.3247179572447460260 x^3-x-1
2 1.3802775690976141157 x^4-x^3-1
3 1.4432687912703731076 x^5-x^4-x^3+x^2-1
4 1.4655712318767680267 x^3-x^2-1
5 1.5015948035390873664 x^6-x^5-x^4+x^2-1
6 1.5341577449142669154 x^5-x^3-x^2-x-1
7 1.5452156497327552432 x^7-x^6-x^5+x^2-1
8 1.5617520677202972947 x^6-2x^5+x^4-x^2+x-1
9 1.5701473121960543629 x^5-x^4-x^2-1
10 1.5736789683935169887 x^8-x^7-x^6+x^2-1
11 1.5900053739013639252 x^7-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1
12 1.5911843056671025063 x^9-x^8-x^7+x^2-1
13 1.6013473337876367242 x^7-x^6-x^4-x^2-1
14 1.6017558616969832557 x^{10}-x^9-x^8+x^2-1
15 1.6079827279282011499 x^9-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1
16 1.6081283851873869594 x^{11}-x^{10}-x^9+x^2-1
17 1.6119303965641198198 x^9-x^8-x^6-x^4-x^2-1
18 1.6119834212464921559 x^{12}-x^{11}-x^{10}+x^2-1
19 1.6143068232571485146 x^{11}-x^9-x^8-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1
20 1.6143264149391271041 x^{13}-x^{12}-x^{11}+x^2-1
21 1.6157492027552106107 x^{11}-x^{10}-x^8-x^6-x^4-x^2-1
22 1.6157565175408433755 x^{14}-x^{13}-x^{12}+x^2-1
23 1.6166296843945727036 x^{13}-x^{11}-x^{10}-x^9-x^8-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1
24 1.6166324353879050082 x^{15}-x^{14}-x^{13}+x^2-1
25 1.6171692963550925635 x^{13}-x^{12}-x^{10}-x^8-x^6-x^4-x^2-1
26 1.6171703361720168476 x^{16}-x^{15}-x^{14}+x^2-1
27 1.6175009054313240144 x^{15}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^9-x^8-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1
28 1.6175012998129095573 x^{17}-x^{16}-x^{15}+x^2-1
29 1.6177050699575566445 x^{15}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^8-x^6-x^4-x^2-1
30 1.6177052198884550971 x^{18}-x^{17}-x^{16}+x^2-1
31 1.6178309287889738637 x^{17}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^9-x^8-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1
32 1.6178309858778122988 x^{19}-x^{18}-x^{17}+x^2-1
33 1.6179085817671650120 x^{17}-x^{16}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^8-x^6-x^4-x^2-1
34 1.6179086035278053858 x^{20}-x^{19}-x^{18}+x^2-1
35 1.6179565199535642392 x^{19}-x^{17}-x^{16}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^9-x^8-x^7-x^6-x^5-x^4-x^3-x^2-x-1
36 1.6179565282539765702 x^{21}-x^{20}-x^{19}+x^2-1
37 1.6179861253852491516 x^{19}-x^{18}-x^{16}-x^{14}-x^{12}-x^{10}-x^8-x^6-x^4-x^2-1
38 1.6179861285528618287 x^{22}-x^{21}-x^{20}+x^2-1

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Marchetti, Rossi Costa, Dal numero aureo al numero plastico in Archimede, nº 2, 2010.

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]

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