Numero di Liouville

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Un numero di Liouville è un numero reale che può essere approssimato "molto bene" con una successione di numeri razionali.

Formalmente, un numero x è di Liouville se per ogni numero intero positivo n esistono degli interi p e q con q > 1 tali che

0 < \left|x - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^n}.

Una definizione equivalente è che per ogni n esistono infinite coppie (p,q) di interi che verificano questa proprietà.

Si dimostra facilmente che ogni numero di Liouville è irrazionale. Nel 1844 Joseph Liouville dimostrò che i numeri che oggi portano il suo nome sono non solo irrazionali, ma anche trascendenti.

Si dimostra che i numeri di Liouville nell'intervallo [0,1] sono non numerabili, ma hanno misura 0.[1] Questo implica che non tutti i numeri trascendenti sono di Liouville, e che anzi questa classe di numeri è molto piccola rispetto all'insieme dei numeri trascendenti. Esempi di numeri trascendenti ma non di Liouville sono e e pi greco.

La costante di Liouville, che, come non è difficile dimostrare, è un esempio di numero di Liouville, è il primo numero del quale è stata dimostrata la trascendenza.

Irrazionalità[modifica | modifica wikitesto]

Supponiamo che sia x=a/b, con a e b interi, e sia n tale che 2n-1>b. Allora per ogni coppia di interi p,q tali che q > 1, p/q ≠ a/b,

\left|x - \frac{p}{q}\right|=\left|\frac{a}{b} - \frac{p}{q}\right|=\left|\frac{aq-bp}{bq}\right|\geq\frac{1}{bq} \geq\frac{1}{2^{n-1}q}\geq\frac{1}{q^n}

contraddicendo la proprietà usata per definire i numeri di Liouville.

Trascendenza[modifica | modifica wikitesto]

Ogni numero di Liouville è trascendente, come fu dimostrato da Liouville nel 1844 (teorema di Liouville), sebbene l'inverso non sia sempre vero. La dimostrazione è basata sul lemma seguente.

Lemma. Per ogni algebrico irrazionale \alpha di grado n (che risolve cioè un'equazione di grado n a coefficienti interi, ma non equazioni di grado inferiore), esiste una costante A tale che per ogni coppia di interi p, q con q > 0

\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| > \frac{A}{q^n}

Dimostrazione del lemma.

Sia P(x) il polinomio minimo di α (cioè monico e di grado minimo tale che P(\alpha)=0 ). Poiché i polinomi sono lipschitziani in un intervallo limitato, esiste M > 0 tale che per ogni coppia a, b si ha

|P(a)-P(b)|<M|a-b|

Quindi in particolare

M\left|\alpha - \frac{p}{q}\right|>\left|P(\alpha) - P\left(\frac{p}{q}\right)\right|=\left|P\left(\frac{p}{q}\right)\right|
\left|\alpha - \frac{p}{q}\right|>\frac{1}{M}\left|P\left(\frac{p}{q}\right)\right|

Osserviamo ora che P(p/q)\neq 0, in quanto altrimenti esisterebbe un altro polinomio a coefficienti razionali di grado minore che ha ancora \alpha come radice, contro le ipotesi. Da ciò segue anche la diseguaglianza \left|P\left(\frac{p}{q}\right)\right|\geq\frac{1}{q^n}, perché si possono ridurre tutti i termini di P(p/q), a_i\frac{p^i}{q^i} allo stesso denominatore qn, e ciò dimostra il lemma.

Dimostrazione della trascendenza dei numeri di Liouville. Supponiamo ora che il numero di Liouville \alpha sia algebrico di grado n, e sia A una costante positiva arbitraria e r tale che \frac{1}{2^r}<A. Se m=r+n, allora, per la definizione di numero di Liouville, si ha

\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^m} = \frac{1}{q^nq^r}<\frac{A}{q^n}

il che contraddice l'algebricità di \alpha, per il lemma precedente e l'arbitrarietà di A.

La costante di Liouville[modifica | modifica wikitesto]

Un particolare numero di Liouville è la cosiddetta costante di Liouville. Essa è pari a

c=\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!} = 0,110001000000000000000001000...

È facile dimostrare che essa è un numero di Liouville: ponendo infatti

p_n=\sum_{k=1}^n 10^{n!-k!}=10^{n!}\sum_{k=1}^n 10^{-k!},~~~~q_n=10^{n!}

(che sono numeri interi) si ottiene

\left|c-\frac{p_n}{q_n}\right|=\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}-10^{n!}\frac{\sum_{k=1}^n 10^{-k!}}{10^{n!}}=\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}-\sum_{k=1}^n 10^{-k!}=\sum_{k=n+1}^\infty 10^{-k!}< \frac{2}{10^{(n+1)!}}\leq \frac{1}{10^{n\cdot n!}}=\frac{1}{q_n^n}

e quindi c verifica la definizione di numero di Liouville, in quanto questa relazione vale per ogni intero positivo n.

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes5.pdf

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Enrico Giusti, Analisi matematica 1, Giusti, Torino 1988, ISBN 8833956849
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