Costante di Eulero-Mascheroni

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La costante di Eulero - Mascheroni è una costante matematica, usata principalmente nella teoria dei numeri e nell'analisi matematica.

È definita come limite della differenza tra la serie armonica troncata e il logaritmo naturale:

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - \ln(n) \right)$

che possiamo riscrivere nella seguente forma:

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \right)=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx$

dove $\lfloor x\rfloor$ è la funzione parte intera.

La sua valutazione approssimata è:

γ ≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...

Non è noto se γ sia un numero razionale o meno. Tuttavia se si suppone che γ sia razionale l'analisi in frazioni continue dimostra che il suo denominatore ha più di 10²⁴²⁰⁸⁰ cifre (Havil, pagina 97).

Le costanti di Stieltjes sono una generalizzazione di tale costante.

[modifica] Rappresentazione integrale

La costante può essere definita in più modi attraverso gli integrali:

$\gamma = - \int_0^\infty { \ln(x) \over e^x }\,dx$

$= - \int_0^1 { \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx$

$= \int_0^\infty {\left (\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x} \right )e^{-x} }\,dx$

$= \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx$

Altri integrali collegati con $γ$ sono:

$\int_0^\infty { e^{-x^2} \ln(x) }\,dx = -1/4(\gamma+2 \ln 2) \sqrt{\pi}$

$\int_0^\infty { e^{-x} (\ln(x))^2 }\,dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}$

[modifica] Collegamento con le funzioni speciali

La Costante di Eulero-Mascheroni è collegata con molte funzioni speciali come la Funzione zeta di Riemann, la Funzione gamma e la Funzione beta. Per esempio la costante è collegata alla funzione zeta dalle seguenti formule:

$\gamma = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^m\zeta(m)}{m}$