Costante di Eulero-Mascheroni

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La costante di Eulero - Mascheroni è una costante matematica, usata principalmente nella teoria dei numeri e nell'analisi matematica.

È definita come limite della differenza tra la serie armonica troncata e il logaritmo naturale:

\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... + \frac{1}{n} - \ln(n) \right)

che possiamo riscrivere nella seguente forma:

\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left(
\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}  - \ln(n) \right)=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx

dove \lfloor x\rfloor è la funzione parte intera.

La sua valutazione approssimata è:

γ ≈ 0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...

Non è noto se γ sia un numero razionale o meno. Tuttavia se si suppone che γ sia razionale l'analisi in frazioni continue dimostra che il suo denominatore ha più di 10242080 cifre (Havil, pagina 97).

Le costanti di Stieltjes sono una generalizzazione di tale costante.

Indice

[modifica] Rappresentazione integrale

La costante può essere definita in più modi attraverso gli integrali:

\gamma = - \int_0^\infty { \ln(x) \over e^x }\,dx
 = - \int_0^1 { \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx
 = \int_0^\infty {\left (\frac{1}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x} \right )e^{-x}  }\,dx
 = \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx

Altri integrali collegati con γ sono:

  \int_0^\infty { e^{-x^2} \ln(x) }\,dx = -1/4(\gamma+2 \ln 2) \sqrt{\pi}
 \int_0^\infty { e^{-x} (\ln(x))^2 }\,dx  = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}

[modifica] Collegamento con le funzioni speciali

La Costante di Eulero-Mascheroni è collegata con molte funzioni speciali come la Funzione zeta di Riemann, la Funzione gamma e la Funzione beta. Per esempio la costante è collegata alla funzione zeta dalle seguenti formule:

\gamma = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^m\zeta(m)}{m}
\gamma =  \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} \zeta(m+1)}{2^m (m+1)}.
 \gamma = \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right )  = \lim_{s \to 1} \left ( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right )

La costante è poi legata alla funzione gamma:

 \gamma =   \lim_{x \to \infty} x - \Gamma \left ( \frac{1}{x} \right )
 =   \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\, \sum_{k=1}^n \left ( \left \lceil \frac{n}{k} \right \rceil - \frac{n}{k} \right ).

E alla funzione beta:

 \gamma = \lim_{n \to \infty} \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1}

Altre formule riguardanti la costante sono:


e^\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac {1} {\ln p_n} \prod_{i=1}^n \frac {p_i} {p_i - 1} ,

noto come terzo teorema di Mertens


[modifica] Bibliografia

  • Havil, J., Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.

[modifica] Voci correlate

La costante di Eulero - Mascheroni compare anche nelle seguenti voci:

[modifica] Collegamenti esterni


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