Costante di Eulero-Mascheroni

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Costante di Eulero-Mascheroni
Simbolo γ
Valore 0,57721566490153286060...
(sequenza A001620 dell'OEIS)
Origine del nome Eulero e Lorenzo Mascheroni
Frazione continua [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, ...]
(sequenza A002852 dell'OEIS)
Campo numeri reali (congetturato irrazionale)
Costanti correlate Costanti di Stieltjes, Costante di Meissel-Mertens

La costante di Eulero - Mascheroni è una costante matematica, usata principalmente nella teoria dei numeri e nell'analisi matematica. È definita come limite della differenza tra la serie armonica troncata e il logaritmo naturale:

\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{k=1}^n \frac1{k} - \ln n \right) = \lim_{n \rightarrow \infty } \left(H_n - \ln n \right)

dove H_n è l'ennesimo numero armonico. La sua valutazione approssimata è:

γ ≈ 0, 57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495... [1]

Non è noto se γ sia un numero razionale o meno. Tuttavia, se si suppone che γ sia razionale, l'analisi in frazioni continue dimostra che il suo denominatore ha più di 10242080 cifre (Havil, pagina 97).

Le costanti di Stieltjes sono una generalizzazione di tale costante.

Rappresentazione integrale[modifica | modifica wikitesto]

La costante può essere definita in più modi attraverso gli integrali:

\gamma = \int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx
 = - \int_0^\infty e^{-x} \ln x\,dx
 = - \int_0^1 { \ln\ln\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx
 = \int_0^\infty {\left (\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{x e^x} \right )  }\,dx
 = \int_0^1 {\left ( \frac1{\ln x} + \frac1{1-x} \right )  }\,dx
 = \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx
 = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)} \, dx\,dy

Altri integrali collegati con  \gamma sono:

  \int_0^\infty { e^{-x^2} \ln x }\,dx = -1/4(\gamma+2 \ln 2) \sqrt{\pi}
 \int_0^\infty { e^{-x} (\ln x)^2 }\,dx  = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}

Sviluppo in serie[modifica | modifica wikitesto]

La Costante di Eulero-Mascheroni si può esprimere tramite molte serie:

\gamma = \sum_{k=1}^\infty \left[ \frac{1}{k} - \ln \left( 1 + \frac{1}{k} \right) \right].
 = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^m\zeta(m)}{m}
 = \ln \left ( \frac{4}{\pi} \right ) + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m-1} \zeta(m+1)}{2^m (m+1)}

è notabile la serie trovata da Vacca nel 1910:

\gamma = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log_2 n}{n} (-1)^n

che si generalizza in

\gamma = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\log_b n}{n} \begin{cases}b - 1 & \mbox{ se } b \mid n \\ -1 & \mbox{ se } b \nmid n \end{cases}

per ogni intero b \geq 2.

Collegamento con le funzioni speciali[modifica | modifica wikitesto]

La Costante di Eulero-Mascheroni è collegata con molte funzioni speciali come la Funzione zeta di Riemann, la Funzione gamma e la Funzione digamma.

 \gamma = \lim_{s \to 1^+} \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n^s}-\frac{1}{s^n} \right )  = \lim_{s \to 1} \left ( \zeta(s) - \frac{1}{s-1} \right )
 = \psi(1) = \lim_{x \to \infty} \left ( x - \Gamma \left ( \frac{1}{x} \right ) \right )

Presenza in teoria dei numeri[modifica | modifica wikitesto]

La costante di Eulero-Mascheroni compare spesso in Teoria dei numeri, ad esempio collegata ai numeri primi

\gamma = \lim_{n \to \infty} \left( \ln n - \sum_{p \le n} \frac{ \ln p }{ p-1 } \right)

\gamma = -\lim_{n \to \infty} \left[\ln \ln n + \sum_{p \leq n} \ln\left(1-\frac1{p}\right) \right],

noto come terzo teorema di Mertens. Nel problema dei divisori di Dirichlet


\sum_{k=1}^n d(n) = n \ln n + (2\gamma - 1) n + O(\sqrt{n}).

Inoltre,


\gamma = \sum_{n=1}^\infty \frac{N_1(n) + N_0(n)}{2n(2n+1)}

dove N_1(n) e N_0(n) sono rispettivamente il numero di 1 e di 0 nell'espansione binaria di n (Sondow 2005).

Note[modifica | modifica wikitesto]

  1. ^ Il record per il calcolo di Y è di 108 000 000 di decimali (Patrick Demichel e Xavier Gourdon, 1999). V. Histoire des maths

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

  • Havil, J., Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

La costante di Eulero - Mascheroni compare anche nelle seguenti voci:

Collegamenti esterni[modifica | modifica wikitesto]


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