Anello locale regolare
In matematica, un anello locale regolare è un anello commutativo unitario locale noetheriano tale che il numero di generatori del suo ideale massimale è uguale alla sua dimensione di Krull. Un anello noetheriano è regolare se ogni sua localizzazione RM (dove M è un suo ideale massimale) è un anello locale regolare.
Il termine "regolare" proviene dalla geometria algebrica: se x è un punto di una varietà algebrica, chiedere che l'anello dei germi di funzioni nel punto è un anello regolare è equivalente a chiedere che la dimensione dello spazio tangente alla varietà in x sia uguale alla dimensione della varietà stessa; quando questo avviene, il punto è detto non singolare (o regolare).
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Definizione ed esempi [modifica]
Sia A un anello commutativo unitario che sia locale e noetheriano di dimensione n e M il suo ideale massimale.
A è regolare se M può essere generato da n elementi; equivalentemente (grazie al lemma di Nakayama) se la dimensione di 
come spazio vettoriale su R / M è uguale ad n. Un'altra caratterizzazione si ha attraverso strumenti omologici: A è regolare se e solo se la sua dimensione globale è finita.[1]
Ogni campo e ogni dominio di valutazione discreta sono anelli regolari; anche l'anello delle serie formali ![K[[X_1,\ldots,X_d]]](http://upload.wikimedia.org/math/1/5/b/15bc1b9b0d60a0d9b70dfe5778c46515.png)
su un campo K è un anello regolare locale.
Il concetto di anello regolare locale può essere "globalizzato": un anello commutativo unitario noetheriano A è regolare se per ogni ideale massimale M la localizzazione AM è un anello regolare locale.
Proprietà [modifica]
Gli anelli locali regolari hanno molte buone proprietà: sono infatti tutti domini d'integrità e domini a fattorizzazione unica. Gli anelli regolari non locali, tuttavia, perdono entrambe queste caratteristiche: ad esempio, i domini di Dedekind sono tutti anelli regolari, ma non sono tutti a fattorizzazione unica. La perdita dell'integrità può essere però in qualche modo controllata: ogni anello regolare, infatti, è il prodotto diretto di un numero finito di domini d'integrità regolari.
La regolarità è una proprietà molto stabile: se A è regolare, ogni localizzazione 
è ancora regolare, così come l'anello di polinomi A[X] e l'anello delle serie formali A[[X]]. La regolarità si preserva anche attraverso il completamento; inoltre, un anello locale regolare completo che contiene un campo k è necessariamente isomorfo a per un campo K (che può essere diverso da k) e un intero d (uguale alla sua dimensione).
Tutti gli anelli regolari sono anelli di Gorenstein e di Cohen-Macaulay.
Note [modifica]
- ^ Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra (in inglese), Cambridge University Press, pp. 1110. ISBN 0-521-43500-5
Bibliografia [modifica]
- Irving Kaplansky, Commutative rings, The University of Chicago Press, 1974. ISBN 0-226-42454-5
Collegamenti esterni [modifica]
- (EN) V.I. Danilov, "Regular ring" SpringerLink Encyclopaedia of Mathematics (2001)}
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