Spettro di un anello

In algebra astratta e geometria algebrica, lo spettro di un anello commutativo R, indicato con Spec(R), è definito come l'insieme di tutti gli ideali primi di R. Viene comunemente dotato della topologia di Zariski e di una struttura di fascio, che lo rende uno spazio localmente anellato.

Topologia di Zariski

A Spec(R) può essere data la struttura di spazio topologico nel modo seguente: un sottoinsieme V di Spec(R) è chiuso se e solo se esiste un sottoinsieme I di R tale che V consiste di tutti gli ideali primi in R che contengono I. Questa viene chiamata topologia di Zariski su Spec(R).

Spec(R) è uno spazio compatto, ma quasi mai di Hausdorff: infatti, gli ideali massimali in R sono precisamente i punti chiusi in questa topologia. Tuttavia Spec(R) è sempre uno spazio di Kolmogorov. È anche uno spazio spettrale.

Fasci e schemi

Per definire una struttura di fascio su Spec(R), per prima cosa sia D_f l'insieme di tutti gli ideali primi P in Spec(R) tali che f non è in P. Gli insiemi {D_f}_f∈R formano una base per la topologia su Spec(R). Definiamo un fascio su D_f ponendo Γ(D_f, O_X) = R_f, la localizzazione di R rispetto alla parte moltiplicativa {1,f,f²,f³,...}.