Anello di Cohen-Macaulay

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In matematica, in particolare in algebra commutativa, un anello di Cohen-Macaulay è un anello commutativo unitario noetheriano tale che, per ogni ideale massimale M, la profondità e la dimensione di Krull della localizzazione A_M sono uguali. La classe degli anelli di Cohen-Macaulay contiene al suo interno tutti gli anelli regolari e gli anelli di Gorenstein.

Prendono nome da Francis Sowerby Macaulay e Irving Cohen, che dimostrarono il teorema di unmixedness rispettivamente per gli anelli di polinomi (Macaulay, 1916) e gli anelli di serie formali (Cohen, 1946).

Definizioni equivalenti[modifica | modifica sorgente]

Sia A un anello commutativo unitario noetheriano. A è di Cohen-Macaulay se la sua dimensione di Krull coincide con la sua profondità, ovvero se esiste una successione regolare di lunghezza pari alla dimensione di Krull di A. Questo è equivalente a richiedere che la profondità di ogni ideale di A coincida con la sua altezza. Omologicamente, questo equivale a richiedere che \mathrm{Ext}^i_A(K,A)=0 per i<\dim(A), dove \mathrm{Ext} indica il funtore Ext e K è il campo residuo di A.

Se A non è locale, allora A è detto di Cohen-Macaulay se A_M è un anello di Cohen-Macaulay, o equivalentemente se h(I)=\mathrm{depth}(I) per ogni ideale I di A.

Esempi[modifica | modifica sorgente]

Tutti gli anelli noetheriani di dimensione 0 (ovvero gli anelli artiniani) sono di Cohen-Macaulay (in quanto la profondità è un intero compreso tra 0 e la dimensione dell'anello). Già in dimensione 1 esistono anelli che non sono di Cohen-Macaulay: un esempio è l'anello K[[x,y]]/(x^2,xy), che ha dimensione 1 e profondità 0.

Tutti i domini d'integrità noetheriani di altezza 1 sono di Cohen-Macaulay, così come i domini d'integrità integralmente chiusi di dimensione 2. Anche questi risultati non possono essere estesi in dimensione superiore: esistono infatti domini d'integrità di dimensione 2 e domini integralmente chiusi di dimensione 3 che non sono di Cohen-Macaulay.

Tutti gli anelli regolari sono anelli di Cohen-Macaulay.

Tutti gli anelli di Gorenstein sono anelli di Cohen-Macaulay.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Ogni localizzazione di un anello di Cohen-Macaulay è ancora di Cohen-Macaulay; al contrario, la proprietà di essere Cohen-Macaulay non è rispettata dal passaggio al quoziente. Se però A è di Cohen-Macaulay e I è un ideale generato da una successione regolare, allora A/I è ancora di Cohen-Macaulay.

Un anello noetheriano A è di Cohen-Macaulay se e solo se lo è l'anello dei polinomi A[X], o se lo è l'anello delle serie formali A[[X]].

Inoltre, un anello locale è di Cohen-Macaulay se e solo se lo è il suo completamento M-adico.

Un'altra condizione equivalente ad essere un anello di Cohen-Macaulay è dato dal teorema di unmixedness, che afferma che A è di Cohen-Macaulay se e solo se, per ogni ideale I generato da h(I) elementi, tutti i primi associati di I hanno la stessa altezza.

Un'importante proprietà degli anelli di Cohen-Macaulay è che, se P è un ideale primo di A, allora tutte le catene discendenti saturate di ideali primi hanno la stessa cardinalità. In particolare, questo dimostra che se A è locale e di Cohen-Macaulay allora \dim(A_P)+\dim(A/P)=\dim(A) per ogni ideale primo P, ovvero che h(P)+\dim(A/P)=\dim(A) per ogni primo P.

Voci correlate[modifica | modifica sorgente]

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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