Modulo libero

In matematica, un modulo libero è un modulo particolarmente simile ad uno spazio vettoriale; più precisamente, se A è un anello, un A-modulo è libero se ha una base, ovvero un insieme di elementi linearmente indipendenti che lo genera.

Nel linguaggio della teoria delle categorie, i moduli liberi sono gli oggetti liberi della categoria degli A-moduli.

Definizione e basi

Sia A un anello e M un modulo su A. M è libero se esiste un insieme E di elementi di M tali che:

• E genera M: ogni elemento di M può essere scritto come combinazione lineare (finita) di elementi di E, ovvero per ogni m in M esistono $a_1,\ldots,a_n\in A$ ed $e_1,\ldots,e_n\in E$ tali che $m=a_1e_1+\cdots+a_ne_n$;
• E è linearmente indipendente: se esistono $a_1,\ldots,a_n\in A$ ed $e_1,\ldots,e_n\in E$ tali che $a_1e_1+\cdots+a_ne_n=0$ allora tutti gli $a_i$ sono uguali a 0.

Mentre ogni modulo possiede un insieme di generatori (ad esempio di può prendere E=M stesso), l'indipendenza lineare è una proprietà molto più stringente: esistono ad esempio moduli in cui nessun insieme non vuoto è linearmente indipendente, come lo $\mathbb{Z}$-modulo $\mathbb{Z}_n$ delle classi di resto modulo n.

Se A è un campo, gli A-moduli sono gli spazi vettoriali, e ognuno di essi ha una base: di conseguenza tutti gli A-moduli sono liberi. Vale anche il viceversa: se tutti gli A-moduli sono liberi, ed A è commutativo, allora A è un campo; lasciando cadere l'ipotesi di commutatività, A deve essere un corpo.

Nei moduli liberi, gli elementi della base si comportano come coordinate: segue infatti dall'indipendenza lineare che l'espressione di ogni elemento m come combinazione degli elementi della base è unica. Di conseguenza, un modulo libero è la somma diretta di copie di A.

Un particolare modulo libero è l'anello A stesso.

Se M è libero, non ha un'unica base; in generale, neppure la cardinalità della base è univocamente determinata. Questa quantità è invariante però per tutti gli anelli commutativi e per tutti gli anelli noetheriani; in particolare si ottiene che la dimensione degli spazi vettoriali è ben definita. Essa viene detta rango del modulo libero.

Costruzione

A partire da un insieme arbitrario E, è possibile costruire un A-modulo libero che ha E come base: considerando tutte le combinazioni lineari formali $a_1e_1+\cdots+a_ne_n$, per qualsiasi sottoinsieme finito $\{e_1,\ldots,e_n\}$ e qualsiasi $a_1,\ldots,a_n\in A$; l'addizione e la moltiplicazione scalare vengono poi definiti termine a termine.

A partire da questo si può dimostrare che ogni modulo è quoziente di un modulo libero: dato infatti un insieme di generatori E per M (ad esempio E=M stesso), si può formare il modulo libero su E, e considerare il sottomodulo N generato dalle relazioni tra elementi di M (ad esempio, se e+f=0, allora e+f sarà contenuto in N). Il quoziente L/N risulta isomorfo ad M.

Proprietà

Somme e prodotti di moduli liberi sono ancora liberi; lo stesso vale per il prodotto tensoriale di due moduli liberi.

Tutti i moduli liberi sono proiettivi e piatti; unito al fatto che ogni modulo è quoziente di un modulo libero, questo dimostra che ogni modulo ha una risoluzione proiettiva. Al contrario, è raro che i moduli libero siano iniettivi: ad esempio, se A è commutativo e locale, A stesso (considerato come A-modulo) può essere iniettivo solo se la sua dimensione è 0.

Bibliografia

• Michael Atiyah e Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra (in inglese), Westview Press, 1969. ISBN 0-201-40751-5

Collegamenti esterni

• (EN) V.E. Govorov, "Free module" SpringerLink Encyclopaedia of Mathematics (2001)

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