Modulo libero

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In matematica, un modulo libero è un modulo particolarmente simile ad uno spazio vettoriale; più precisamente, se A è un anello, un A-modulo è libero se ha una base, ovvero un insieme di elementi linearmente indipendenti che lo genera.

Nel linguaggio della teoria delle categorie, i moduli liberi sono gli oggetti liberi della categoria degli A-moduli.

Definizione e basi[modifica | modifica sorgente]

Sia A un anello e M un modulo su A. M è libero se esiste un insieme E di elementi di M tali che:

  • E genera M: ogni elemento di M può essere scritto come combinazione lineare (finita) di elementi di E, ovvero per ogni m in M esistono a_1,\ldots,a_n\in A ed e_1,\ldots,e_n\in E tali che m=a_1e_1+\cdots+a_ne_n;
  • E è linearmente indipendente: se esistono a_1,\ldots,a_n\in A ed e_1,\ldots,e_n\in E tali che a_1e_1+\cdots+a_ne_n=0 allora tutti gli a_i sono uguali a 0.

Mentre ogni modulo possiede un insieme di generatori (ad esempio di può prendere E=M stesso), l'indipendenza lineare è una proprietà molto più stringente: esistono ad esempio moduli in cui nessun insieme non vuoto è linearmente indipendente, come lo \mathbb{Z}-modulo \mathbb{Z}_n delle classi di resto modulo n.

Se A è un campo, gli A-moduli sono gli spazi vettoriali, e ognuno di essi ha una base: di conseguenza tutti gli A-moduli sono liberi. Vale anche il viceversa: se tutti gli A-moduli sono liberi, ed A è commutativo, allora A è un campo; lasciando cadere l'ipotesi di commutatività, A deve essere un corpo.

Nei moduli liberi, gli elementi della base si comportano come coordinate: segue infatti dall'indipendenza lineare che l'espressione di ogni elemento m come combinazione degli elementi della base è unica. Di conseguenza, un modulo libero è la somma diretta di copie di A.

Un particolare modulo libero è l'anello A stesso.

Se M è libero, non ha un'unica base; in generale, neppure la cardinalità della base è univocamente determinata. Questa quantità è invariante però per tutti gli anelli commutativi[1] e per tutti gli anelli noetheriani;[2] in particolare si ottiene che la dimensione degli spazi vettoriali è ben definita. Essa viene detta rango del modulo libero.

Costruzione[modifica | modifica sorgente]

A partire da un insieme arbitrario E, è possibile costruire un A-modulo libero che ha E come base: considerando tutte le combinazioni lineari formali a_1e_1+\cdots+a_ne_n, per qualsiasi sottoinsieme finito \{e_1,\ldots,e_n\} e qualsiasi a_1,\ldots,a_n\in A; l'addizione e la moltiplicazione scalare vengono poi definiti termine a termine.

A partire da questo si può dimostrare che ogni modulo è quoziente di un modulo libero: dato infatti un insieme di generatori E per M (ad esempio E=M stesso), si può formare il modulo libero su E, e considerare il sottomodulo N generato dalle relazioni tra elementi di M (ad esempio, se e+f=0, allora e+f sarà contenuto in N). Il quoziente L/N risulta isomorfo ad M.

Proprietà[modifica | modifica sorgente]

Somme e prodotti di moduli liberi sono ancora liberi; lo stesso vale per il prodotto tensoriale di due moduli liberi.

Tutti i moduli liberi sono proiettivi e piatti; unito al fatto che ogni modulo è quoziente di un modulo libero, questo dimostra che ogni modulo ha una risoluzione proiettiva. Al contrario, è raro che i moduli libero siano iniettivi: ad esempio, se A è commutativo e locale, A stesso (considerato come A-modulo) può essere iniettivo solo se la sua dimensione è 0.[3]

Note[modifica | modifica sorgente]

  1. ^ (EN) V.E. Govorov, Rank of a module in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
  2. ^ (EN) Paul Moritz Cohn, Introduction to ring theory, Springer, 2000, pp.169-171, ISBN 1-85233-206-9.
  3. ^ (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, p. 107, ISBN 0-521-43500-5.

Bibliografia[modifica | modifica sorgente]

Collegamenti esterni[modifica | modifica sorgente]

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