Radicale di un ideale

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In matematica, e più precisamente in algebra, il radicale (o nilradicale) di un ideale I di un anello commutativo è l'ideale formato da tutti gli elementi dell'anello di cui è possibile trovare una potenza contenuta in I o, equivalentemente, l'intersezione di tutti gli ideali primi contenenti I. Un ideale che coincide con il suo radicale si dice un ideale radicale.

Il radicale di I, denotato con \sqrt{I} o con \mathrm{rad}(I), è un ideale radicale contenente I e, più precisamente, è il più piccolo ideale radicale contenente I.

Il radicale dell'ideale (0) dell'anello A è detto radicale (o nilradicale) di A, e viene spesso indicato con \mathrm{rad}(A).

Il radicale di un ideale è collegato molto strettamente con la geometria algebrica attraverso il teorema degli zeri (o "Nullstellensatz") di Hilbert, che afferma che, se K è un campo algebricamente chiuso, gli ideali radicali dell'anello dei polinomi K[x_1,\ldots,x_n] sono in corrispondenza biunivoca con gli insiemi algebrici dello spazio affine \mathbb{A}^n_K.

Definizione[modifica | modifica wikitesto]

Sia I un ideale di un anello commutativo A. Il radicale di I è l'insieme

\sqrt{I}:=\{x\in A|\exists n\in\mathbb{N}:x^n\in I\}

\sqrt{I} è effettivamente un ideale, in quanto

x^n\in I\Longrightarrow (ax)^n\in I per ogni a\in A
se x^n,y^m\in I, allora (x+y)^{n+m-1}=\left(x^{n+m-1}+\ldots+c_nx^ny^{m-1}\right)+\left(c_my^mx^{n-1}+\ldots+y^{n+m-1}\right)\in I

Equivalentemente, il radicale di I è l'intersezione di tutti gli ideali primi contenenti I: se infatti x^n\in I, allora x^n\in P per ogni ideale primo P\supseteq I, e quindi x\in P; viceversa, se x\in P per ogni ideale primo contenente I, allora l'insieme degli ideali che contengono I ma non contengono alcuna potenza di x ammette un elemento massimale (grazie al lemma di Zorn), che è possibile dimostrare essere primo, contro l'ipotesi che x fosse contenuto in tutti gli ideali primi contenenti I.

In particolare, il radicale di A, ovvero il radicale dell'ideale nullo, coincide con l'intersezione di tutti gli ideali primi di A.

Proprietà[modifica | modifica wikitesto]

La seconda caratterizzazione del radicale è utile per analizzarne il comportamento tramite omomorfismi: se f:A\longrightarrow B è un omomorfismo il cui nucleo è contenuto in I, allora f(\sqrt(I))=\sqrt{f(I)}; in particolare, se \pi:A\longrightarrow A/I è la proiezione canonica, \sqrt{I} è la controimmagine del radicale dell'ideale nullo in A/I, ovvero del radicale di A/I. In particolare, I è un ideale radicale se e solo se A/I è un anello ridotto.

Inoltre, questa caratterizzazione implica che un ideale primo contiene I se e solo se contiene \sqrt{I}: ne segue che \sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I} (in quanto sono l'intersezione degli elementi dello stesso insieme) e, inoltre, che i chiusi V(J) definiti da I e da \sqrt{I} nella topologia di Zariski dello spettro dell'anello coincidono.

Altre proprietà legano il radicale di I alle operazioni tra ideali:

  • \sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}
  • \sqrt{IJ}=\sqrt{I\cap J}=\sqrt{I}\cap\sqrt{J}
  • \sqrt{I^n}=\sqrt{I}
  • \sqrt{I}=A\iff I=A

Bibliografia[modifica | modifica wikitesto]

Voci correlate[modifica | modifica wikitesto]

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