Radicale di un ideale

In matematica, e più precisamente in algebra, il radicale di un ideale è un'operazione unaria sugli ideali che prende in considerazione un ideale I di un anello commutativo restituendo un altro ideale che in particolare sarà formato da tutti gli elementi dell'anello di cui è possibile trovare una potenza contenuta in I. Un ideale che coincide con il suo radicale si dice un ideale radicale.

Il radicale di un ideale è collegato molto strettamente con la geometria algebrica attraverso il teorema degli zeri (o "Nullstellensatz") di Hilbert, che afferma che la corrispondenza tra insiemi algebrici e ideali radicali è biunivoca.

Definizione

Se I è un ideale di un anello commutativo A, si definisce il radicale di I come:

$\sqrt{I}=\{x\in A|\exists n\in\mathbb{N}:x^n\in I\}$

Il radicale di I è un ideale; infatti si ha:

$x^n\in I\Rightarrow\forall a\in A:(ax)^n\in I$

$x^n\in I, y^m\in I\Rightarrow (x+y)^{n+m-1}=\left(x^{n+m-1}+\ldots+c_nx^ny^{m-1}\right)+\left(c_my^mx^{n-1}+\ldots+y^{n+m-1}\right)\in I$

Proprietà

Il radicale di un ideale I ha le seguenti proprietà:

$\sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}$

$\sqrt{I+J}=\sqrt{\sqrt{I}+\sqrt{J}}$

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